整数奇偶性习题（含答案）

1．选择题 是

(1)若n是大于1的整数，则p=n+(n2-1)的值 (A)一定是偶数． (B)一定是奇数．

(C)是偶数但不是2． (D)可以是偶数也可以是奇数． (1985年全国初中数学联赛题)

(2)设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定(A)奇数． (B)偶数． (C)分数． (D)无理数． (1983年上海市初中数学竞赛题)

1(3)如果n是正整数，那么[1-(-1)n](n2-1)的值

8(A)一定是零． (B)一定是偶数． (C)是整数但不一定是偶数． (D)不一定是整数．

(1984年全国高考题)

(4)满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是

(A)x=12785，y=12768． (B)x=12784，y=12770． (C)x=11888，y=11893． (D)x=1947，y=1945．

(1983年福建省初中数学竞赛题)

(5)若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是 (A)286． (B)288． (C)290． (D)292．

(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)

1?(?1)r2

?x?1988y?n?x?p

(6)已知n是偶数，m是奇数，方程组?的解?是整数，

?11x?27y?m?y?q则

(A)p，q都是偶数． (B)p，q都是奇数．

(C)p是偶数，q是奇数．(D)p是奇数，q是偶数． (1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)

(7)如果方程x2+(4n+1)x+2n=0(n为整数)有两个整数根，那么这两个根是 (A)都是奇数． (B)都是偶数． (C)一奇一偶． (D)无法判断． (1985年成都市初中数学竞赛题)

(8)设a，b都是整数，给出四个命题： (i)若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；

(ii)若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除； (iii)若a+b是素数，则a-b一定不是素数；

a3?b3a?b(iv)若c=a+b≠0，则33?．

a?ca?c 上述命题中是正确命题的个数是

(A)1个． (B)2个． (C)3个． (D)4个．

(第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)

(9)六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是

(A)280． (B)368． (C)382． (D)423．

(1990年南昌市初中数学竞赛题)

(10)自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t个数添上“-”号，则这1989个数的和

(A)总是奇数． (B)总是偶数．

(C)t为奇数时其和为整数． (D)奇偶性不能确定．

(第6届缙云杯数学邀请赛题) (11)设u=x2+y2+z2，其中x，y是相邻的整数，且z=xy，则u (A)总为奇数． (B)总为偶数． (C)有时为偶数，有时为奇数． (D)总为无理数．

(第6届缙云杯数学邀请赛题)

(12)设a为任一给定的正整数，则关于x与y的方程x2-y2=a2 (A)没有正整数解． (B)只有正整数解． (C)仅当a为偶数时才有整数解． (D)总有整数解．

(1988年江苏省初中数学竞赛题)

(13)将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在

(A)第1列．(B)第2列．(C)第3列．(D)第4列．(E)第5列．

(1985年第36届美国中学生数学竞赛题)

2．扑克牌中的A，J，Q，K分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：这13对的差的积必为偶数．(1987年天津市初二数学竞赛题)

3．求证：1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值．(1985年苏州市初中数学竞赛题)

4．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

xx1x2++…+n?1x2x3xn＋

xn=0，求证：n是4的倍数．(1985合肥市初中数学竞赛题) x1 5．把n2个互不相等的实数排成下表：

a11，a12，…，a1n， a21，a22，…，a2n，

……

an1，an2，…，ann．

取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小值，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较xn与yn的大小．(1982年上海市高中数学竞赛题)

6．把1980分解成连续整数之和．(1980年长沙市高中数学竞赛题)

7．求证：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差．(1990年西安市初中数学竞赛题)

8．设n是正的偶数，试问下列诸数： 1×(n-1)，2×(n-2)，…，(n-1)×1

中哪个数最大？为什么？(1989年浙江省初二数学竞赛题) 9．有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…，其中ak(k=1，2，…)是0，1，2，…，9中的一个数，且a1为奇数，a2为偶数，a3等于a1+a2的个位数，a4等于a2+a3的个位数，…，an+2等于an+an+1的个位数．求证：A是一个循环小数．(1991年浙江省初中数学竞赛题)

10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？说明理由．(1991年浙江省初中数学竞赛题)

11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？说明你的理由．(1992年浙江省初中数学竞赛题)

12．求证：不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和． 13．已知一个整数n，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n．(1984年苏州市高中数学竞赛题) 14．给定自然数a，b，求证：(1)如果ab是偶数，那么一定可以找到两个自然数c和d，使得a2+b2+c2=d2；(2)如果ab是奇数，那么满足a2+b2+c2=d2的自然数c和d一定不存在．(1980年北京市初中数学竞赛题)

15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数． 16．设数列{an}：1，9，8，5，…，其中ai+4是ai+ai+3的个位数字(i=1，2，…)，

222求证：a1985是4的倍数． ?a1986???a2000 17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．

18．设a，b是正整数，求证：仅有有限个正整数n存在，使得

1??1??a??b?????是整数．(1992澳大利亚数学竞赛题)

2??2?? 19．设a，b，c是奇自然数，求证：方程ax2+bx+c=0没有形如

p的解，其qnn中p，q是整数．(1991澳大利亚数学通讯赛题)

20．求满足|12m-5n|=7的全部正整数解．(第30届加拿大IMO训练题) 21．求证：x2+y2=1983没有整数解． 22．求证：方程2x2-5y2=7没有整数解．

23．是否有整数m，n使得5m2-6mn+7n2=1987？ 24．求证：5x+2=17y没有正整数解．

25．求证：四个正整数之和为13时，它们的立方和不可能是120．你能否把这个命题推广到一般的情形？请证明你的结论． 26．一张8×8的方格纸，任意把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂成白色，接着对涂了色的方格纸进行“操作”，每次操作把任意横行或者竖列上每个方格同时变换颜色，问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？ 27．用0至9十个不同数字，组成一个能被11整除的最大十位数．

28．在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形的顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只有三角形的小块．求证：这种小三角形的个数与n的奇偶性相同． 29．在1，2，3，…，1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？(第15届全俄中学生数学竞赛题)

30．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数． 31．置于暗室的一只抽屉内装有100只红袜子，80只绿袜子，60只蓝袜子，40只黑袜子，一个人从抽屉中选取袜子，但他无法看清所取袜子的颜色．为确保取出的袜子至少有10双(一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双中)，问至少需取多少只袜子？(第37届美国中学生数学竞赛题) 32．如图表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A进，从B出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在？

33．求证：不存在三阶幻体．即将数1，2，…，27填入3×3×3的立方体中，不可能使所有“共线”的三数之和均相等．

34．设a，b是自然数，且有关系式123456789=(11111+a)(11111-b)，求证：a-b是4的倍数．(1990年日本高考数学题)

35．求证：方程x2+4xy+4y2+6x+12y=1986无整数解．

36．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，求证：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市中学数学竞赛题)

37．求证：x4+1980x2+2000x+1990不可能分解成两个整系数二次三项式之积．

38．设有7个3的不同方幂：3x1，3x2，…，3x7，(xi≥0，i=1，2，…，7)．求证：可以从中找到四个数，它们的积等于某整数的四次方． 39．求出所有的正整数m，n，使得(m+n)m=nm+1413．

(1987年第2届东北三省数学邀请赛题)

40．给定关于x，y的方程组

?y?2x?a?0 (其中a，b是整数)． ?22?y?xy?x?b?0 求证：如果这个方程组有一组有理数解，那么这组有理数一定是整数．