高中数学选修2-2教案（三维目标修订版）72y

巩固练习：

1、a,b,c?R?,求证a?b?b?c?a?c?2(a?b?c)222222

2、?ABC中，已知3b?23asinB，且cosB?cosC求证：?ABC为等边三角形?3、a,b,c为?ABC的三内角的对应边 aA?bB?cC?试证明:?a?b?c2

课后作业：

例1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证： a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc 证明：∵b2?c2≥2bc,a＞0, ∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc ② c(a2?b2)≥2abc ③

因为a，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列， 求证：a2?b2?c2?(a?b?c)2 证明：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正数，所以0?b?ac≤2∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0 ∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

例3、若实数x?1，求证：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2. 证明：采用差值比较法： 3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2

=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x3 =2(x4?x3?x?1) =2(x?1)2(x2?x?1)

13=2(x?1)2[(x?)2?].

2413?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,

2413∴2(x?1)2[(x?)2?]?0,

2449

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.

例4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2) 分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立 (2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证2abcd≤b2c2+a2d2 即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法

证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd 故命题得证 分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0, ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,

即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2) 例5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立， 即需证(a-b)2＞0成立。 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322

即a+b＞ab+ab，由此命题得证.

教后感：

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