平面几何研究 - -平面几何新思索（叶中豪） - 图文

命题2 已知四边形ABDC，且AD平分对角线BC。P是BC上任意一点，作平行四边形PEAF， E，F分别在AB，AC上。再过E作EQ∥BD，过F作FQ∥CD，两线交于Q。求证：Q，D，P三点共线。

AEQFBP04040102CD

或将它改述为：

命题2′ 在已知△ABC中线上取一点D，P是底边AB上任意一点，作平行四边形PEAF， E，F分别在AB，AC上。再过E作EQ∥BD，过F作FQ∥CD，两线交于Q。求证：Q，D，P三点共线。

AQEDFBM04033105PC

命题2中所涉及的中线和平行四边形，似都不是本质的，我的目标是给出这类命题最为一般的推广。可考虑如下模式：设P是∠XOY所在平面上的动点，过P按既定方向作射线PE，EQ及PF，FQ，得交点Q。则从点P到点Q是平面上的一个仿射变换，以O为不动点。

OQFEPX04040103Y

上图还顺便显示了当P在一个圆上运动时，Q相应地在一个椭圆上运动。 在这个观点下，可将命题2推广到如下形式：

命题3 P是任意四边形ABCD对角线交点，G是对角线AC上任意一点，过G作CB，CD两边的平行线，分别交AB，AD于 E，F，连接PE，PF。再在BD上任取一点P′，作P′E′∥PE交AB于E′，作P′F′∥PF交AC于F′。然后过E′作E′G′∥EG，过F′作F′G′∥FG，两线交于G′。求证：P′，G′，C三点共线。

AE'EBPP'FF'DGG'04033109C

命题4 △DEF是已知△ABC的内接三角形，满足EF∥BC，在AD上取一点G，连接BG，CG。然后在底边BC上任取一点D′，作D′F′∥DF交AB于F′，作D′E′∥DE交AC于E′；再作F′G′∥BG，E′G′∥CG，两线交于G′。求证： G′，G，D′三点共线。

AG'F'FGEE'B04033110DD'C

注意：命题4比命题3更为本质。

有趣的是，今年初我和田廷彦曾探索过与命题4完全相同的图形的另外一个性质：设E′F′与EF的交点为K，则当D′在BC上运动时，D′K的连线恒经过定点P，它满足：△PBC∽△DEF。

【040401】在上述模式的仿射变换中，一般它具有两条不动直线（都经过不动点O），其方向即我们所关心的本质方向，凡平行于它的直线经变换后方向都不变。对应于每个这样的方向，所形成的线束之中心轨迹乃是通过O的一条直线，但其方向相对于角的两边而言似乎并不是既定方向的第四调和方向（原先是这样猜测的）。 OQ04040104Fl'ElPXY 上图中，点P在某条直线l上运动，其像Q的轨迹是另一条直线l′。拖动直线l，可以观察l′的方向与它的依赖关系。图中也同时画出了PQ连线的包络，当l和l′平行时它立刻退化为线束。下一步目标是确定这个构型的内在关联，（如角的大小以及四条射线的方向是如何控制该仿射变换的一些特征的呢？又如，当这些元素满足何种关系时，仿射变换退化为相似变换？）它导致对仿射变换的深入研究，而以前在这方面做得相当不够。

有一个疑问：本题的模式是不是代表了一般的仿射变换呢？在这一模式中，OX，OY两边对于整个变换来说是不是本质的呢？为了解决这一疑问，应转而研究最一般类型的仿射变换。 下图中所画的正是由三组对应点A→A′，B→B′，C→C′所确定的仿射变换，它所代表的才是最一般类型的仿射变换。图中同时画出了这一仿射变换的不动点O。

经探索才知道，在相当多的情况下，仿射变换未必存在不动直线；而一旦存在的话，一般说来就有两条。那么，不动直线存在与否如何来判定呢？这又涉及了一个很根本的问题。

在不存在不动直线的情况下，当P点沿直线l移动时，对应点联线的包络总是抛物线切线族。每条直线l对应着这样一个抛物线，其焦点和准线的变化遵循什么规律？不动点O何时成为该抛物线的焦点呢？直线l和抛物线之间的决定关系如何精确地描绘呢？这是下一步探索的核心问题。

上图还显示了当一条直线绕定点旋转时，这条直线与其对应直线的交点轨迹是一条经过定点以及不动点O的二次曲线。（可根据射影几何知识来说明交点轨迹确是二次曲线：先注意到仿射变换保持线束的交比不变，再根据二次曲线的射影定义。）于此有一个重要的猜想：

猜想 定点的位置不影响轨迹的形状。即当定点运动时，这条二次曲线只是位似地移动。

当直线平行移动时，交点的轨迹是一条经过不动点O的直线。它的方向是如何确定的呢？这还很有探索的余地。 OQA'PC'ABCB'04040108