平面几何研究 - -平面几何新思索（叶中豪） - 图文

类似地，过内心I作平行线IE和IF，则O到EF的距离仍是SI之半（见上面右图）。 但如过类似重心K作这样的两条平行线KE和KF，则直线EF之包络就是像下面左图所示的馒头曲线了。

AAEFEOFH04032108BKCBCO'

当取垂心H时，结论十分有趣：EF的包络是一个椭圆——以底边BC为短轴，以外心O为一个焦点，该椭圆的长轴等于外接圆的直径（见上面右图）。

而当取九点圆心时的情形则更为有趣：EF的包络是二次曲线，以BC的垂直平分线为长轴，以OM的中点为中心（M是BC中点），而且该二次曲线的长轴与外接圆的直径之比为3∶4。

当∠A等于30°时，此时椭圆恰以O，M为焦点；当∠A在40°左右时，二次曲线成为圆。注意，这条二次曲线并不总是过B，C两点的：当∠A小于某一临界角（约36°左右）时，该二次曲线过B，C两点；一旦大于临界角，就不过B，C两点了。

当∠A大于120°时，包络就变为双曲线。但它的离心率如何刻划呢？

Am?BOC = 64.68?EFONi04032109BMC 这个图形奥妙无穷，还有待继续研究。

最为有趣的是九点圆心Ni关于EF的轴对称点的轨迹。它有时像一只苹果（不知会否成为心脏线？），有时像一只柠檬，有时像一只芒果，有时又像一只葫芦。真是变幻莫测！

AFEOONiCC04032110BANiB

AANiFBOC04032110EONiCB

【040329】3月26日（五）晚考虑了如下轨迹：

设∠XOY是定角，P是平面上动点，P在OX，OY上的射影分别为A，B。 最简单的情形是：

模式0 使线段AB的长度为定值之P轨迹，是以O为中心的圆。

备考：《梁绍鸿》习题十№6：“过圆上任意一点向固定的两直径作垂线。求证两垂足的距离为定长。”

模式1 使△OAB的面积为定值之P轨迹，是以O为中心，垂直于OA，OB的两直线为渐近线的双曲线。

OAPB04032601XY 模式2 使四边形OAPB面积为定值之P轨迹，是以O为中心的等轴双曲线。

OAPB04032602XY

3月28日（日）又继续考虑如下轨迹：

模式3 使△OAB的周长为定值之P轨迹，也是双曲线，以顶点O为一个焦点。其中心是△OAB的曼海姆（Mannheim）圆的圆心M。

注：当△OAB的周长为定值时，底边AB的包络是一个圆（即△OAB的旁切圆是个定圆）；△OAB的外接圆的包络也是一个圆，称为Mannheim圆，记为⊙M，它也嵌于∠XOY内，其切点连线恰好经过△OAB的旁心。旁切圆⊙I与Mannheim圆⊙M之比为cos2A2。

备考：《梁绍鸿》总复习题№39：“设A是定圆⊙I外的定点，过A作⊙I的切线AX，AY，又任意作切线交AX，AY于B，C。则△ABC的外接圆常切于某一定圆。”（Mannheim定理）

OBAPIM04032801XY

模式4 为使连线AB经过定点C，则P之轨迹是经过顶点O的双曲线，其中心D可如下确定：先作平行四边形CEOF，再过E，F分别作OX，OY的垂线，其交点即为D。

而且猜想该双曲线的对称轴恰与∠XOY的角平分线平行——这一点绝非是显然的！ 当P 取双曲线顶点时，直线OC好像穿过△OAB的Mittonpunkt。

OEDFACBP04032802XY

今天考虑最重要的情况：

模式5 当OA和OB之间是线性关系时（即动点A和动点B构成∠XOY两边之间的仿射对应），这时△OAB的外接圆恒经过定点M（Miquel点），直线AB的包络是以M为焦点的抛物线——此即Apollonius所发现的定理，见《一百个著名初等数学问题——历史和解》。

P的轨迹是一条经过M点的直线l，它与OM垂直。设l与∠XOY两边的交点为L，N，再作它们在另一边上的射影F，E，则EF连线是该抛物线的准线。设该抛物线与∠XOY两边的切点为C，D，则C，D满足：∠MCO＝∠MON，∠MDO＝∠MOL（即△MCO∽△MOD），而动三角形MAB的形状也始终保持与它们相似；相对△OCD来说，M点是其第二Brocard三角形的顶点；而且Apollonius还告诉我们：CA∶AO＝OB∶BD＝AG∶GB，其中G是AB对于抛物线的切点。

OEFGALPBNMD04032901C

当A，B取M在∠XOY两边的射影时，线段AB的长度达到最小值——此时它是抛