济宁市兖州区2017届中考数学二模试卷

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG+BE=CB+GE， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=4

，BE=5

，

2

2

2

2

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73， ∴GE=

．

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．

22．（11分）（2016?昆明）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角

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形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式； （2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；

（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．

【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， 把C（0，4）代入：4=﹣2a， a=﹣2，

∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），

∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；

（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D， ∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m）， S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6， ∵﹣2＜0，

∴S有最大值，则S大=6；

（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形， 理由是： 分以下两种情况：

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①当∠BQM=90°时，如图2： ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ．

设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 把B（2，0）、C（0，4）代入得：，

解得：

，

∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4， 设M（m，﹣2m+4），

则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m， 在Rt△OBC中，BC==

=2

，∵MQ∥OC， ∴△BMQ∽BCO， ∴，即， ∴BM=

（2﹣m）=2

﹣m， ∴CM=BC﹣BM=2﹣（2

﹣

m）=

m，

∵CM=MQ， ∴﹣2m+4=m，m==4﹣8．

∴Q（4

﹣8，0）．

②当∠QMB=90°时，如图3， 同理可设M（m，﹣2m+4）， 过A作AE⊥BC，垂足为E， ∴∠EAB=∠OCB， ∴sin∠EAB=，

∴， ∴BE=

，

过E作EF⊥x轴于F，

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sin∠CBO=，

∴，

∴EF=， 由勾股定理得：BF==，

∴OF=2﹣=， ∴E（，），

由A（﹣1，0）和E（，）可得： 则AE的解析式为：y=x+，

则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2）， 设Q（﹣x，0）（x＞0）， ∵AE∥QM， ∴△ABE∽△QBM， ∴

①，

由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（﹣2m+4﹣4）2]②， 由以上两式得：m1=4（舍），m2=， 当m=时，x=， ∴Q（﹣，0）． 综上所述，Q点坐标为（4

﹣8，0）或（﹣，0）． 28