高考数学总复习 第七章 数列、推理与证明 第6讲 数学归纳法课时作业

第6讲 数学归纳法

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.用数学归纳法证明“2＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值

nn0应取( )

A.2 C.5

1

B.3 D.6

n解析 ∵n＝1时，2＝2，2×1＋1＝3，2＞2n＋1不成立；

n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立； n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.

∴n的第一个取值n0＝3. 答案 B

2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么( ) A.n＝4时该命题成立 B.n＝4时该命题不成立 C.n≥5，n∈N时该命题都成立

D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立

解析 显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错. 答案 C

111n3.利用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋n>(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”

232－12变到“n＝k＋1”时，左边增加了( ) A.1项

B.k项

C.2

k－1

*

*

项 D.2项

k111k解析 左边增加的项为k＋k＋…＋k＋1共2项，故选D.

22＋12－1答案 D

4.对于不等式n＋n

(2)假设当n＝k(k∈N)时，不等式k＋k

*

2

2

22

*

k2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1.

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )

- 1 -

A.过程全部正确 B.n＝1验得不正确 C.归纳假设不正确

D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法. 答案 D

5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n＝( ) A.k＋1 B.(k＋1)

（k＋1）＋（k＋1）C. 2

D.(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1)

解析 当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k.

当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1)，

故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1).故选D. 答案 D 二、填空题

1111

6.设Sn＝1＋＋＋＋…＋n，则Sn＋1－Sn＝________.

23421111

解析 ∵Sn＋1＝1＋＋…＋n＋n＋…＋nn，

222＋12＋2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

n4＋n2

2

，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上

Sn＝1＋＋＋＋…＋n.

∴Sn＋1－Sn＝答案

1111＋n＋n＋…＋nn. 2＋12＋22＋32＋2

n12113412

1111＋n＋n＋…＋nn 2＋12＋22＋32＋2

n7.(2017·绍兴调研)数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N)，依次计算出a2，a3，a4的

3an＋1值分别为________；猜想an＝________.

227132222

解析 a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.由此，猜想an是以分子

3×2＋17213219

3×＋13×＋1

713

an*

- 2 -

为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.∴an＝2222答案 ，，

713196n－5

2. 6n－5

8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________.

解析 f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1. 答案 f(n＋1)＝f(n)＋n－1 三、解答题

1111*

9.用数学归纳法证明：1＋2＋2＋…＋2<2－(n∈N，n≥2).

23nn1513

证明 (1)当n＝2时，1＋2＝<2－＝，命题成立.

24221111

(2)假设n＝k时命题成立，即1＋2＋2＋…＋2<2－. 23kk1111111111

当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋<2－＋<2－＋＝2－＋

23k（k＋1）2k（k＋1）2kk（k＋1）kk－

11

＝2－，命题成立. k＋1k＋1

*

由(1)(2)知原不等式在n∈N，n≥2时均成立. 10.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N).

(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)证明(1)中的猜想.

(1)解 当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 3当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；

27

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；

4当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， 15∴a4＝.

8

2－1*

由此猜想an＝n－1(n∈N).

2

(2)证明 ①当n＝1时，a1＝1，结论成立. ②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立， 2－1

即ak＝k－1，那么n＝k＋1时，

2

k*

*

n - 3 -

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，

2－12＋k－1k＋1

22＋ak2－1

∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝. k222所以当n＝k＋1时，结论成立. 2－1*

由①②知猜想an＝n－1(n∈N)成立.

2

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

1113

11.(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，

23n2

nkf(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论( )

2n＋1

A.f(2n)＞ 2C.f(2)≥

n5272

B.f(n)≥2

n＋2

2

n＋2

2

D.以上都不对

4567n＋22345n解析 因为f(2)＞，f(2)＞，f(2)＞，f(2)＞，所以当n≥1时，有f(2)≥. 22222答案 C

12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)成立”.那么，下列命题总成立的是( ) A.若f(1)<1成立，则f(10)<100成立 B.若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立

C.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k成立 D.若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k成立

解析 选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k成立；对于选项D，满足数学归纳法原理，该命题成立. 答案 D

13.(2017·金华调研)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N)

解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n－n＋2.

2

*

2

22

2

2

- 4 -