学而思网校5年级 超难奥数

度的几倍？

【作业】

如图1，图中的三个四边形ABHG、CDIH和EFGI都是正方形，当其面积分别是10平方厘米、13平方厘米、29平方厘米时，请问：

⑴如图2，有16个边长为1厘米的正方形方格，在图中连结这些方格的顶点，画出四边形ABHG；

⑵请求出六边形ABCDEF的面积。

奇偶靠联想

【例1】

三个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数。

【例2】

已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。

【例3】 请问多位数nnn

n会不会是一个完全平方数？说明理由。

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【例4】

如果n个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”， ⑴证明，n的最大值为4。

⑵当n＝4时，求4个质数的乘积的最小值。

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测试题

1．在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数。请证明这两个11位数的和至少有一位数字是偶数。

2．甲、乙两人将正整数5至11分别写在7张卡片上。他们将卡片背面朝上，任意混合后，

甲取走3张，乙取走2张，剩下的2张卡片他们谁也没看。甲看了手里的3张卡片后对乙说“你的2张卡片上的数之和是偶数”。试问：甲手里的是哪三个数？答案是否唯一？

答案： 1．【分析】如果在求和时发生进位现象，那么考虑从右往左数的第一次进位，由于是第一次

进位，所以这一个数位上没有进位过来的，那么这只有这一个数位上的两个数字都是5时才有可能成立，而这一位向上一位进1后，所得的和的这一位上的数字是0，是个偶数。也就是说如果发生进位，那么所得的和至少有一个数字是偶数； 如果这两个11位数在求和时不发生进位现象，由于没有进位，那么每一位上的两个数字相加就得到和数的一个数字，于是这两个11位数的各位数字之和的和就等于这两个11位数的和的各位数字之和，而前者是两个相同的数相加，是个偶数；后者是11个数相加，那么其中必有偶数(否则，11个奇数相加，仍是奇数)，所以不发生进位时仍然至少有一位数字是偶数。 2．【分析】甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的

手中。因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着这4 张卡片上的数的奇偶性相同，即或者都是偶数，或者都是奇数。但由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，只能是奇数。所以3张写着偶数的卡片全部在甲的手里。

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穷举用技巧

【例1】

N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是 。

【例2】

如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。

【例3】

黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。 ⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ ⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？

【例4】

如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？

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测试题

【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。

【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

答案： 【例1】【分析】

由于30?2?3?5，从质数的观点看整除，如果自然数N能被30整除，那么自然数N至少含有三个质因数2，3，5。设：N?2r1?3r2?5r3?。自然数N恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：（r1?1）（?r2?1）（?r3?1）??30?2?3?5。注意到2?3?5是三个约数之积，由此可知自然数N中质因数的个数恰好有3个。因此

（，　12，　4）的一个排列。 （r1?1）（?r2?1）（?r3?1）?2?3?5，由此可知（r1，r2，r3）必是综上所述，所求的自然数有：2?32?54，2?34?52，22?3?54，24?3?52，

24?32?5，22?34?5。

【例2】【分析】

6只能表示为?5?1?或?1?1??2?1?，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质

数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：

22?322?522?722?1122?1322?1722?1922?2332?232?532?732?1152?252?372?28种4种 2种1种所以符合条件的自然数一共有1?8?4?2?1?16(种)。

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