高中物理奥赛复赛专项训练(全12套)每日两题

[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 姓名： 物理竞赛真题专项(2) 天体运动 1．〔20届复赛〕三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径R0＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的． 【思路与心得】 三、参考解答 位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力GM?m可以表示为F?， （1） 2r式中M?是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以?表示地球的密度，此质量可以表示为 4??r3 （2） 3于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为4F??G?mr （3） 3M??第 5 页 共 48 页

[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为 x f?Fsin? （4） sin?? （5） r力的方向指?为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中点C的距离，GM0m向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为mg? （6） 2R04式中M0是地球的质量。由上式可以得到 g??G?R0 （7） 3mg由以上各式可以求得 f?x （8） R0可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为 k?mg （9） R0物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为T?2?R0/g。取x?0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x?0处的速度为v0，则根据能量1212mv0?k(R0?h2) （10） 222R0?h22式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得 v0?g （11） R0可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。 设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度守恒，有 为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有 112112Mv0?mv0?MV?mv，（12）Mv0?mv0?MV2?mv2 （13） 22223M?m解式（12）和式（13），得 v?v0 （14） M?m质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有 1112k(R0?h2)?mu2?mv2 （15） 2222?h28M(M?m)R02g （16） 由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得u?R0(M?m)2u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，M0mu2如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有G2?m （17） R0R0R由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到h?027M2?10Mm?m2 （18） 2M(M?m)已知M?20m，则得h?0.925R0?5920km （19） 评分标准：本题20分。求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。 第 6 页 共 48 页

[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 2．〔25届复赛〕二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的2椭圆轨道，近地点离地面高Hn?2.05?10km，远地点离地面高Hf?5.0930?10km，4周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量m?2.350?10kg，地球半径R?6.378?10km，地面重力加速度33g?9.81m/s2，月球半径r?1.738?103km。 1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。 2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 【思路与心得】 二、参考解答： 1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）rn与rf的算术平均值，即有 111H?R?H?R???rn?rf???????nf?2?Hn?Hf??R (1) 22?4 代入数据得a?3.1946?10km (2) a? 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 b? 代入数据得 b?1.942?10km (4) 椭圆的偏心率e?4rnrf (3) a2?b2 (5) a代入数据即得 e?0.7941 (6) 2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以vn和vf分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有12GMm12GMm (7) mvn??mvf?2rn2rf

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[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 式中M是地球质量，G是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有 mvnrn?mvfrf (8) 注意到 由(7)、(8)、(9)式可得vn?rf2gR (10) rnrf?rnGM?g (9) 2Rrr2gvf?nvn?nR (11) rfrfrf?rn当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有rn?R?Hn rf?R?Hf 由(11)式并代入有关数据得vf?1.198km/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度Hf??Hf?5.0930?10km，但4??6.00?10km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为新轨道近地点高度Hnkm/s (13) v?f?1.230卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为?t，有 2m?v?f?vf??F?t (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 ?t=1.5?10s (约2.5分) (15)这比运行周期小得多. 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，?表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小L?rmvsin??2m? (16 ) 21rvsin? （17）是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.21由于角动量是守恒的，故?是恒量.利用远地点处的角动量，得??rfvf (18) 2又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为S?πab (19) 2πabS所以卫星沿轨道运动的周期 T? (20)由(18)、(19)、(20) 式得T? (21) rfvf?其中??代入有关数据得T?5.678?10s (约15小时46分) (22) 注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即 4?T??a???????T0??a0?23，若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动?2π?GMm?ma的轨道半径，则有?0?2a0T?0?2T024π24π2? 得3?a0GMgR2 ，从而得 T?2πaRag代入有关数据便可求得(22)式. GMmm2π2?mr() (23)这4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有m2rmTm里rm?r?Hm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得34π2rmMmMm?M (24)代入有关数据得 ?0.0124 (25) 2gR2TmM

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