中考几何图形

中考冲刺复习学案——几何综合

4.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD

A下面的证法供你参考：

把?ACD绕点A瞬时间针旋转60得到?ABE，连接ED， 则有?ACD??ABE,DC=EB ∵AD=AE,?DAE?60

??B∴?ADE是等边三角形

图1 D∴AD=DE

在?DBE中，BD+EB > DE 即：BD+DC>AD

实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），

求证：BD+DC>2AD

CAA B

BC 图3 DD 图2

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之

间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.

A

CABE， （1）证明：把?ACD绕点A瞬时针旋转90得到?E连接ED， ---1分

则有?ACD??ABE,DC=EB

∵AD=AE,?DAE?90∴?ADE是等腰直角三角形 ??BDC第5页共27页

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∴DE=2AD ------------------2分 在?DBE中，BD+EB > DE

即：BD+DC>2AD ------------------- 3分 （2）BD+DC≥2AD ---------4分

（3）猜想1：BD+DC〈2AD

证明：把?ACD绕点A顺时针旋转?，得到?ABE

则有?ACD??ABE, DC=EB，∠ACD=∠ABE ---------5分 ∵∠BAC+∠BDC=180 o∴∠ABD+∠ACD=180 o ∴∠ABD+∠ABE=180 o

E即：E、B、D三点共线---------6分

∵AD=AE, 在?ADE中∵AE+AD>DE

B即BD+DC〈2AD ---------------------7分

或者猜想2：

?AED是等腰三角形

由全等可得：?CAD=?BAE ??EAD=α 过A作AF?DE于F点α11

则?EAF=,DF=DE=(BE+BD) 222α

在RtAFD中，DF=AD?sin 2--------7分 1α

ACD即：(BE+BD)=AD?sin22间接利用旋转变换添加辅助线

5．（密云）已知：正方形ABCD中，?MAN?45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当?MAN绕点A旋转到BM?DN时，有

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BM?DN?MN．当?MAN 绕点A旋转到BM?DN时，如图

2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

AN（2）当?M绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之

间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 BM?DN?MN．

证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．

易证 △ABE≌△ADN （SAS）． ∴ AE=AN；∠EAB=∠NAD．

?BAD?90,?NAM?45,??BAM??NAD?45.??EAB??BAM?45.∴?EAM??NAM．又AM为公共边， ∴△AEM≌△ANM． ?ME?MN．

?MN?ME?BE?BM?DN?BM

即 DN?BM?MN． ------------------4分

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，DN（2）猜想：线段BM和MN之间的等量关系为：

DN?BM?MN ．

证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E ．

易证 △ABM≌△ADE（SAS）． ∴ AM=AE；∠MAB=∠EAD． 易证 △AMN≌△AEN（SAS）．

?MN?EN ．∵DN?DE?EN，

∴DN?BM?MN． --------------7分

6．（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O. （1） 如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且

∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系． 请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明. D

(1)EF?AF?AE……….…...1分 (2) 线段AE、BF和EF之间的数量关系：

ADF图 1 CE222OBCEF?BF?AE.………….…...2分

222证明：过O作OH⊥OF，交AD于点H，连结HE.….…..3分 ∵∠1=45°，∠AOB=90?， ∴∠2+∠3=∠2+∠4=45°. ∴∠3=∠4. A由正方形性质可知，OA=OB，∠5=∠6=45°.

D∴△AOH≌△BOF . ............................4分 ∴BF=AH，OF =OH. ………………5分 在△EOH和△EOF中

H6AE32OE图 2FCBO145FB第8页共27页