中考几何图形

中考冲刺复习学案——几何综合

中考数学一模分类汇编——几何综合

等边三角形、等腰三角形+旋转变换

1. （燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向

线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.

（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC

的度数；

（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋

转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC

的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数. C

24.⑴ 1，60° ?????????2分 ⑵ 不变化.

证明：如图，点E在AP的延长线上，

∠BPE=α<60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分）???3分 C ∵∠BPC=∠CPD+60°,∠DPA=∠CPD+60°, ∴∠BPC=∠DPA. 在△BPC和△DPA中， 又∵BP=DP，PC=PA，

∴△BPC≌△DPA. ????4分 ∴∠BCP=∠DAP.

A M P D

M D A P B E B 第1页共27页

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∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC= 120°-∠BCP -∠MAC

=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA =120°-∠PAC

= 60°，且与α的大小无关.????????6分

⑶ 不变化，60° ??????????7分

2. （东城） 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B

不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

（1）如图1，若AB=23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时

EF的长（直接写出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条

线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明； （3）若AB=23，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y

关于x的函数关系式．

24. （本小题满分7分） 解：（1）EF=2． ?????1分

（2）EF=BF． ?????2分 证明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP ， ∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，∴ ∠BAP=∠EAQ ． 在△ABP和△AEQ中，

AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，

∴ △ABP≌△AEQ．∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．

∴ ∠BEF?180???AEQ??AEB?180??90??60??30?．

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又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，∴EF=BF．??4分 (3) 在图1中，过点F作FD⊥BE于点D． ∵ △ABE是等边三角形, ∴ BE=AB=23．

由（2）得 ?EBF?30°，

在Rt△BDF中，BD?3 ．

BG?2 ．

cos30?∴ EF=2 ． ∵ △ABP≌△AEQ , ∴ QE=BP=x ． ∴ QF=QE＋EF?x?2．

∴ 以QF为边的等边三角形的面积

∴ BF=y=

332(x?2)2?x?3x?3 44 3．（顺义）问题：如图1， 在Rt△ABC中，?C?90?，?ABC?30?，点

D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在?ACB的

内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情

EAC况进行分析并加以证明.

DB图1（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由?BAC的度

数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；

（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE

之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

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AAC(D)图2BCB图3D

解：（1）完成画图如图2，由?BAC的度数

为 60°，点E落在 AB的中点处 ，

容易得出BE与DE之间的数量关系 为 BE=DE ；????? 3分

（2）完成画图如图3． A2猜想：BE?DE． 1证明：取AB的中点F，连结EF．

CEFDB1图3∵?ACB?90?，?ABC?30?，∴?1?60?，CF?AF?AB．

2∴△ACF是等边三角形．∴AC?AF． ① ?? 4分 ∵△ADE是等边三角形，∴?2?60?，

AD?AE． ②

∴?1??2．∴?1??BAD??2??BAD． 即?CAD??FAE．③ ???????? 5分 由①②③得 △ACD≌△AFE（SAS）．???? 6分 ∴?ACD??AFE?90?．

∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线． ∴BE=AE. ?????????? 7分

∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴BE?DE．????? 8分

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