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全概率公式与贝叶斯公式解题归纳
来源：文都教育
在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果”，还是“由果索因”，因为全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率.
它们的定义如下：
全概率公式：设B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分，如果P(Bi)?0,
i?1,2,L,n，则对任一事件A有
nP(A)??P(Bi)P(A|Bi).
i?1贝叶斯公式 ：设B1,B2,?,Bn 是样本空间?的一个划分，则
P(Bi|A)?P(Bi)P(A|Bi)?P(B)P(A|B)jjj?1n,i?1,2,?,n.
例1 从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X，再从1，?，X中任取一个数，记为Y，则P(Y?2)?
.
解 由离散型随机变量的概率分布有：
P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?14. 由题意，得
P(Y?2X?1)?0,P(Y?2X?2)?12,
P(Y?2X?3)?13,P(Y?2X?4)?14,则根据全概率公式得到
P(Y?2)?P(X?1)P(Y?2X?1)?P(X?2)P(Y?2X?2)
?P(X?3)P(Y?2X?3)?P(X?4)P(Y?2X?4)
111113??(0???)?. 423448例2 12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率.
解 令A={先取的1件为次品}，则A,A为完备事件组，P(A)?2C8228C721取的2件皆为正品}，则P(BA)?2?,P(BA)?2?,
C1155C115512,P(A)?,令B={后33由贝叶斯公式得
128?P(A)P(BA)P(AB)2355P(AB)????.
P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)1?28?2?215355355若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
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