辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三数学第五次模拟试题理

已知函数f(x)?|x?1|?|x?2|. (Ⅰ)求不等式f(x)?13的解集；

1k2?1(mn?0)，证明：m?n?16. (Ⅱ)若f(x)的最小值为k，且?mn - 5 -

2018-2019学年东北育才高中部高三年级第五次模拟考试 数学（理科）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.A 9.C 10.A 11.B 12.D 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

2π11113.14.15.16.

3

3 4 18

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(Ⅰ)解：Q23sin2A?sinA?3?0 2?23?1?cosA?sinA?3?0，即sinA?3cosA?0 …………2分 2 …………4分

?tanA?3

又0?? …………6分 3a?(Ⅱ) Q…………8分 ?2R…………7分?a?2RsinA?23sin?3sinA3

1Q?ABC面积为3?bcsinA?3 得bc?4 …………9分

2A???A?∵a=b+c﹣2bccosA， ∴b+c﹣bc=9， …………10分 ∴（b+c）=9+3cb=9+12=21，∴b+c=∴周长a+b+c=3+

2

22222

21 ………11分

21． …………12分

18.(Ⅰ)这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2分别为 x?30?0.05?40?0.1?50?0.15?60?0.35?70?0.2?80?0.15?60

…2分

s2?(?30)2?0.05?(?20)2?0.1?(?10)2??0.15?0?0.35?102?0.2?202?0.15?180…4分 (Ⅱ)（i）由（1）知，X~N(60，180)，

从而P(60?X?73.4)?1P(60?13.4?X?60?13.4)?0.3415； 2…7分

55]内有3人，在[65，75]内有4人，（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[45，故Y可能的取值为0，1，2，3 P(Y?0)?03C3C43C712C3C4184??，P(Y?1)?， 33535C7 - 6 -

P(Y?2)?21C3C43C730C3C4121?P(Y?3)?? 33535C7所以Y的分布列为

Y P 0 4 351 18 352 12 353 1 35…11分

所以Y的数学期望为E(Y)?0?4181219?1??2??3?? …12分 353535357?y?2x224ab?222y?19.(Ⅰ)解：由?x可得 y224a?b?2?2?1?aba2?b21c22??a?2b,c?b ………2分 e??，e?2a2a2422b322c???，带入得

2222334a?b8b?b2abx2??b?12?y?1，椭圆方程为………5分 ?2? ?a?2(Ⅱ)设直线AB的方程为y?2x?m(m?0)

?y?2x?m?22由?x2，得9x?8mx?2m?2?0 2??y?1?2??64m2?36(2m2?2)?0，得m2?9，?m???3,0?U?0,3?………7分

82m2?2设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x1?x2??m,x1x2?

994mx0??m,y0?2x0?m?

99y0y02x0y08m28k1?k2???2?（m?0） ………10分 ?281x0?1x0?1x0?181?16m?162m8???k1?k2????,??U?0,???………12分

7??

- 7 -

20. (Ⅰ)解：△PAD中PA2?AD2?PD2，∴?PAD?90?∴AD?PA； ………1分 连AC，△ABC中AC2?AB2?BC2?2AB?BCcos?ABC?4 ………2分 ∴AC2?BC2?AB2∴AC?BC，∴AD?AC ………4分 又PAIAC?A∴AD?平面PAC∴AD?PC ………5分 (Ⅱ)由（1）：PA?AD，又侧面PAD?底面ABCD于AD，

∴PD?底面ABCD，∴以A为原点，DA延长线、AC、AP分别为x、y、z轴建系； ………6分

∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0),D(?2，0，0)，E(?1，1，0)，P(0，0，2) uuuruuuruuur2，?2)，PD?(?2，0，?2)，PB?(2，2，?2)， ………7分 ∴PC?(0，设

uuurPFPF?(2?，2?，?2?) ，（），则????[0，1]PBuuurF(2?，2?，?2??2)，EF?(2??1，2??1，?2??2) ………8分

uruuur?urur?m?PC?0设平面PCD的一个法向量m?(x，y，z)，则?u，可得m?(1，?1，?1) ruuurm?PD?0??r0，1)又平面ABCD的一个法向量n?(0， ………10分

uuururuuurr2?2?2?m?cosEF，n，即uuu由题：cosEF，r?uuur

EF3EF解得：??3?3 ………12分 221. (Ⅰ) 解：由已知f(x)的定乂域为(0,??)，又f'(x)?当a?0时，f'(x)?0恒成立； 当a?0时，令f'(x)?0得0?x?1?a， x11；令f'(x)?0得x?. aa综上所述，当a?0时，f(x)在(0,??)上为增函数； 当a?0时，f(x)在(0,)上为增函数，在(,??)上为减函数. ………4分 (Ⅱ)由题意g(x)?1a1a11(x?1)2?lnx?ax?a,(x?0)，则g'(x)?x??a?1， 2x当a?1时，∵g'(x)?0，

∴g(x)在(0,??)上为增函数，不符合题意. ………6分

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