2017-2018学年高中数学课下能力提升(五)新人教A版选修1-2

课下能力提升(五)

[学业水平达标练]

题组1 综合法的应用

1．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

2．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值是( ) A．13 B．12 C．11 D．10

3．在锐角△ABC中，已知3b＝23asin B，且cos B＝cos C，求证：△ABC是等边三角形．

题组2 分析法的应用

333

4. a－b0 B．ab>0且a>b C．ab<0且a

a2＋b2

2

≥ab的步骤补充完整：要证

a2＋b2

2

≥ab，只需证a＋

2

b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．

11

6．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：2a＋1＋2b＋1≤22.

22题组3 综合法与分析法的综合应用

7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a＋b＞ab＋ab.

8．已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c).

[能力提升综合练]

1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )

12

A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)

－1

－1

－1

3

3

2

2

xC．f(x)＝e D．f(x)＝ln(x＋1) 2．已知a＞0，b＞0，m＝lg

xa＋b2

，n＝lg

a＋b2

，则m与n的大小关系为( )

A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定

3a－4

3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则aa＋1的取值范围是( )

33

A．a＜ B．a＜，且a≠－1

4433C．a＞或a＜－1 D．－1＜a＜

44

4．已知a，b，c，d为正实数，且＜，则( ) A.＜

acbdaa＋cca＋cac＜ B.＜＜

bb＋ddb＋dbdaca＋c D．以上均可能

bdb＋dxyC.＜＜

5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log2＝________.

1π3π

6．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝________.

5242Sn122*

7．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n－n－，n∈N.

n33(1)求a2的值；

(2)证明数列??是等差数列；

?n?

?1?7

(3)若Tn是数列??的前n项和，求证：Tn＜.

4?an?

?an?

8．设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：

2

f?x＋?为偶函数．

2

??

1?

?

答案 [学业水平达标练]

1．解析：选C 由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．

2．解析：选B 由a＜3＋8－1得a＜(3＋8－1).

而(3＋8－1)＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a的最大值为12. 3．证明：∵△ABC为锐角三角形，

2

2

?π?∴A，B，C∈?0，?，

2??

由正弦定理及条件，可得3sin B＝23sin Asin B.

?π?∵B∈?0，?， 2??

∴sin B≠0.∴3＝23sin A．∴sin A＝π?π?∵A∈?0，?，∴A＝. 2?3?

3

. 2

?π?又cos B＝cos C，且B，C∈?0，?.

2??

∴B＝C.

2ππ

又B＋C＝，∴A＝B＝C＝.

33从而△ABC是等边三角形．

333

4. 解析：选D a－b

?(a－b)<(a－b)， 3232

?a－b－3ab＋3ab

? ab< ab， ?ab

2

2

?ab(b－a)<0. 5．解析：用分析法证明

2

2

a2＋b2

2

≥ab的步骤为：要证

2

a2＋b2

2

≥ab成立，只需证a＋b≥2ab，

22

也就是证a＋b－2ab≥0，即证(a－b)≥0.

由于(a－b)≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a＋b－2ab≥0 (a－b)≥0 (a－b)≥0

6．证明：要证2a＋1＋2b＋1≤22，只需证2(a＋b)＋2＋22a＋1·2b＋1≤8. 因为a＋b＝1，

即证2a＋1·2b＋1≤2.

11

因为a≥－，b≥－，

22

2

2

2

2

2

所以2a＋1≥0,2b＋1≥0， 所以2a＋1·2b＋1≤

2a＋1＋

2

2b＋1

＝

2a＋b＋1

2

＝2.

即2a＋1·2b＋1≤2成立，因此原不等式成立． 7．证明：法一：要证a＋b＞ab＋ab成立， 只需证(a＋b)(a－ab＋b)＞ab(a＋b)成立． 又因为a＋b＞0，

所以只需证a－ab＋b＞ab成立． 即需证a－2ab＋b＞0成立， 即需证(a－b)＞0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)＞0显然成立． 由此命题得证．

法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)＞0?a－2ab＋b＞0?a－ab＋b＞ab. 因为a＞0，b＞0， 所以a＋b＞0，

(a＋b)(a－ab＋b)＞ab(a＋b)． 所以a＋b＞ab＋ab. 8．证明：法一：(分析法)

要证(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)， 即证

113＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c－1

－1

－1

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

23

3

2

2

只需证

a＋b＋ca＋b＋c＋＝3， a＋bb＋cca＋bb＋c＋

化简，得

a＝1，

即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需证c＋a＝b＋ac.

因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°，

2

2

2

a2＋c2－b21

所以cos B＝＝，

2ac2

即a＋c－b＝ac成立．

所以(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)成立． 法二：(综合法)

因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°.

－1

－1

－1

2

2

2