2019年高考数学（理）一轮复习精品资料专题28等比数列及其前n项和（押题专练）含解析

b23

易知b2>0，所以b2＝3，所以a1＋a2＝10.

16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0

5答案 2

17．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝__________，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________。

a4n(n＋1－

解析：由题意得公比q3＝a1＝8，q＝2，an＝2·2n1＝2n。因此bn＝n，Sn＝2。 n(n＋1答案：2 2

n

18．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝S5，则S2 014＝__________。

解析：根据数列前n项和的定义知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，从而1＋q＝0，q＝－1，所以这个等比数列的相邻两项的和都是0，所以S2 014＝0。

答案：0

19．在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值是__________。

22a92222解析：由题意知a4·a14＝(2)＝a9，即a9＝2。设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝q2＋a9q＝q2＋2q≥2q2＝8，当

2

242

且仅当q2＝2q，即q＝2时取等号，其最小值为8。

答案：8

20．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81。 (1)求an；

(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn。 a1q＝3

解析：(1)设{an}的公比为q，依题意得a1q4＝81， a1＝1－

解得q＝3。因此，an＝3n1。 (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝

n(b1＋bnn2－n

2＝2。

21．已知在数列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an＋1＝3an－2an－1(n≥2)． (1)证明：数列{an＋1－an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

2n－1

(2)令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Tn.

2n－1

(2)由(1)知bn＝2n，

1352n－1

所以Tn＝2＋22＋23＋…＋2n①， 11352n－1

2Tn＝22＋23＋24＋…＋2n＋1②， ①－②，得

1122222n－12Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－2n＋1 112n－1＝2＋22n－2n＋1 112n－1＝2＋2×2－2n＋1 112n－1＝2＋1－2n－1－2n＋1 32n＋3＝2－2n＋1， 2n＋3

所以Tn＝3－2n.

39

22．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，已知a3＝2，S3＝2。 (1)求数列{an}的通项公式；

3

(2)是否存在正整数n，使得Sn－Sn＋2＝32成立，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由。

3

(2)假设存在正整数n，使得Sn－Sn＋2＝32成立，

33

①当a1＝2，q＝1时，由Sn－Sn＋2＝32 333

?2n－2(n＋2)＝32，无解； 11

②当a1＝6，q＝－2时，Sn＝4n， 3

由Sn－Sn＋2＝32 11

?2n＝－32?n＝5，

3

综合①②知，存在正整数n＝5，使得Sn－Sn＋2＝32成立。

1

23．在数列{an}中，a1＝－2，2an＝an－1－n－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋n。 (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{nbn}的前n项和Tn；

1n2

(3)若cn＝2－an，Pn为数列{＋cn}的前n项和，求不超过P2 014的最大的整数。 解析：(1)证明：由2an＝an－1－n－1两边加2n得， 2(an＋n)＝an－1＋n－1，

an＋n1bn1

所以an－1＋(n－1＝2，即bn－1＝2。

1111

故数列{bn}是公比为2的等比数列，其首项为b1＝a1＋1＝－2＋1＝2，所以bn＝2n。 1nn

(2)nbn＝n·2＝2n。

1234n－1n

Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n。① 11234n－1n

2Tn＝22＋23＋24＋25＋…＋2n＋2n＋1。②

111111n1n

①－②得2Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－2n＋1＝1－2n－2n＋1， n＋2

所以Tn＝2－2n。