2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第五章 1 第1讲 平面向量的概念及线性运算

平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：

(1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．

角度一 用已知向量表示未知向量

如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个

→

靠近B点的三等分点，那么EF等于( )

1→1→A.AB－AD 231→1→B.AB＋AD 421→1→C.AB＋DA 321→2→D.AB－AD 23

→→→【解析】 在△CEF中，有EF＝EC＋CF. →1→

因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.

2因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点， →2→所以CF＝CB.

3

→1→2→1→2→所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA

23231→2→

＝AB－AD，故选D. 23【答案】 D 角度二 求参数的值

如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH

→→→

⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________．

【解析】 因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1. 因为点M为AH的中点， →1→1→→所以AM＝AH＝(AB＋BH)

221→1→?1→1→AB＋BC＝AB＋BC， ＝?3?22?6→→→又AM＝λAB＋μBC，

11

所以λ＝，μ＝，

262

所以λ＋μ＝.

32

【答案】

3

向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，→→→Nn－1分别将线段BC和DC进行n等分(n∈N*，n≥2)，如图，若AM1＋AM2＋…＋AMn－1＋AN1→→

＋AN2＋…＋ANn－1＝45AC，则n＝( )

A．29 C．31

B．30 D．32

→→1→→→2→→n－1

解析：选C.由题图知，因为AM1＝AB＋BC，AM2＝AB＋BC，…，AMn－1＝AB＋

nnn→

BC，

→→1→→→2→→n－1→→→→→AN1＝AD＋DC，AN2＝AD＋DC，…，ANn－1＝AD＋DC.AB＝DC，AD＝BC.

nnnn－1?12→→→→

所以AM1＋AM2＋…＋AMn－1＋AN1＋AN2＋…＋ANn－1＝?n－1＋＋＋…＋·

nnn??→→3（n－1）→

(AD＋AB)＝AC，

2

3（n－1）所以＝45，解得n＝31.故选C.

2

2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取→→→→→→遍±1时，|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．

解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建

→→→

立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1AB＋λ2BC＋λ3CD

??λ1－λ3＋λ5－λ6＝0→→→

＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当?时，

?λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0?

→→→→→

可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋→→→λ6BD|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB＋λ2BC＋→→→→

λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最大值22＋42＝25.

答案：0 25

平面向量共线定理的应用

设两个非零向量a与b不共线．

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→

【解】 (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

→→→→→→

所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线， 又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又a，b是两个不共线的非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.

1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是( )

A．λ＝0 C．λ＝－2

B．λ＝－1 1

D．λ＝－

2

解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，

111

因为a，b共线?b＝a?b＝e1－e2?λ＝－.

222

2.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别→→

为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.

→→→

(1)试用a，b表示BC，AD，BE； (2)证明：B，E，F三点共线． →→

解：(1)△ABC中，AB＝a，AC＝b， →→→

所以BC＝AC－AB＝b－a，

131→→→→1→

AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b，

44441→→→→1→

BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.

331→

(2)证明：BE＝－a＋b，

3→→→→2→BF＝BA＋AF＝－AB＋AD

3

1231?111

a＋b＝－a＋b＝?－a＋b?， ＝－a＋?3?3?44?262?→1→

所以BF＝BE，

2

→→

所以BF与BE共线，且有公共点B， 所以B，E，F三点共线．

核心素养系列10 数学运算——共线定理的推广与应用

→→→→→

[共线定理] 已知PA，PB为平面内两个不共线的向量，设PC＝xPA＋yPB，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.

→

[推广形式] 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设PC→→

＝xPA＋yPB(x，y∈R)．

当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，→→→

所以由三点共线结论可知，若PF＝λPA＋μPB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相→→→→→→

似，知必存在一个常数m∈R，使得PC＝m PF，则PC＝mPF＝mλPA＋mμPB.

→→→

又PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m. 以上过程可逆．