当前位置：首页 > 一维热传导MATLAB模拟
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
2.2一维热传导问题的分离变量法
利用分离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题： （一）考虑齐次热传导方程的混合问题（边界条件）都是第一类情形
?ut?a2uxx,0?x?l,t?0?， (14) ?u?0,t??0,u?l,t??0?u?x,0???(x)?其中?(x)为给定的已知函数，求解过程为首先令u?x,t??X(x)T(t)将其带入方程
ut?a2uxx ， (15)
并且分离变量得两个常微分方程
T'(t)??a2T(t)?0X(x)??X(x)?0'' ， (16)
由边界条件u?0,t??0,u?l,t??0可得：X(0),X(l)?0(17)为有界长杆的热传导问题[11]的解。 （二）求边值问题
一维热传导问题的分离变量法求边值问题的原理，即是求
X''(x)??X(x)?0,X(0)?X(l)?0的非0解包括以下三种情况：
（1）当??0时，该问题没有非平凡解； （2）当??0时，该问题也没有非平凡解； （3）当??0时，该问题有非平凡解； 此时
n?2),(n?1,2,3.....) ， (17) ln?xXn(x)?Bnsin,(n?1,2,3.....)。 (18)
l???n?(若现在考虑：
T'(t)??a2T(t)?0， (19)
将特征值???n?(n?2),(n?1,2,3.....)代入方程得： l5
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
T'(t)?(n?a2)T(t)?0 ， (20) lna?2)tl求得通解为
T(t)?Cne?(,(n?1,2,3...) ， (21)
于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量分离形式特解[12]：
u?x,t???anen?1??(na?2)tlsinn?x ， (22) l其中an?BnCn，是任意常数，在利用初值条件u?x,0???(x)，可得：
?ansinn?1?n?x??(x) ， (23) l继而推导出：
an?所以
21n?x?(x)sindx ， (24) ?0llna???()2t?n?xl??ux,t?anesin???ln?1， (25) ??an?21?(x)sinn?xdx?l?0l?就为所求定解问题 (14)的特解。若问题中的边界条件出现第二类或者第三类齐次边界条件，解法类似。
2.3一维热传导问题的有限差分法 （一）有限差分法的介绍：
有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今乃被推广使用[13]。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组。
有限差分法的优点：它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法，数学观念直观，表达简单，是发展最早而且比较成熟的数值方法。
6
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
有限差分法的缺点：它是必需进行整个区域的划分，并且要求网格比较规则，空间网格最好为直角网格。
（二）利用有限差分法进解决一维热传导问题：
问题背景
1、热传导的方程介绍[14]：
???u2?a2?u???t?x2?u?0,t??u?L,t??0， ????u?x,0??f(x)2、离散以后得到：
uj0?u?0,jk??0 ， ujn?u?L,t??0 ， u0i?u?ih,0??f(ih)?fi， （1）向前差分后得：
uj?1?ujj?2ujjii2ui?1i?uik?a?1h2，计算得出：
uj?1i?suji?1??1?2s?ujji?sui?1，s?ka2h2 。 下图是一个显示格式：
7
(28) (29) (30) (31)
(32) (33) (34)
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
图2.1 向前有限差分法网格图
1由此可以证明当0?s?时，上述差分式是稳定的，所以x的步长h和t的步
2长k取法要恰当。
（2）向后差分格式得到：
j?1j?11uij?1?uij?uij??2ui?1?2ui1?a ， (35) kh2计算得出：
11uij??suij??1?2s?uij?1?suij??1??1 ， (32)
图2.2 向后有限差分法网格图
8
本文作者：...共分享92篇相关文档
