高中数学《数列》教案3 苏教版必修5

1.方程思想的运用 （1）已知等差数列 项.

（2）已知等差数列 （3）已知等差数列

中，首项

，公差

，则－397是该数列的第______

中，首项 中，公差

， ，

则公差 则首项

在一个等式中，运用

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量. 2.基本量方法的使用 （1）已知等差数列 （2）已知等差数列

中， 中，

，求 ，

的值.

求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于

和

的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由

和

写出和

通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 的二元方程组，以求得

和

，

和

称作基本量.

教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知等差数列

中，

?

由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题 （3）已知等差数列

；?.

类似的还有

（4）已知等差数列

中，

求

的值.

中，

求

；

；

；

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

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3.研究等差数列的单调性

，考察

随项数 的变化规律.着重考虑

的

情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 考察相邻两项的差所得结果是一致的. 4.研究项的符号

的符号，由学生叙述结果.这个结果与

这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如 （1）已知数列 （2）等差数列 三.小结

1. 用方程思想认识等差数列通项公式； 2. 用函数思想解决等差数列问题. 四.板书设计

等差数列通项公式 1. 方程思想的运用 的通项公式为

，问数列从第几项开始小于0？

从第________项起以后每项均为负数.

2. 基本量方法的使用 3. 研究等差数列的单调性 4. 研究项的符号 典型例题

例1.已知

依次成等差数列，求证：

依次成等差数列.

成等差数列，只需证明等式：

分析：要证三个数 成立. 证明：

，即证

成等差数列，

（设其公差为 ），

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，

又

，

，

成等差数列.

说明：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用.这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗.此题证法很多，不再一一列举. 例2 在等差数列

中，

，则

（ ）.

（A）72 （B）60 （C）48 （D）36

分析：在题目中的项很多，利用通项公式转化为两个基本量 解：设此数列的首项为

，公差为

，则

和 .

，即 .

说明：可以应用等差数列的性质：若

，所以有

例3 已知

是等差数列，且满足

＝

，则

60. 等于________.

＝40，故

，则

分析：已知等差数列的两项，等差数列便确定了，利用通项公式可以求得任意一项.数列确定后，数列的图像也确定了，利用图形也可求解. 解一：设此数列的首项为

，公差为

，则

，

，

相减得

，

，

，

.

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解二：设数列公差为 故

，

.

，

.

解三：根据等差数列的图像可知

，即

，

三点共线，故有 .

说明： 通项公式与图像是认识和研究等差数列的工具，它们在数和形两个角度各有优势，应将它们有机结合，适当选择，以利问题解决. 例4.已知无穷等差数列 项组成数列 （1）求 （2）求 （3）

. 和

；

，首项

公差

，依次取出项数被4除余3的

的通项公式； 中的第110项是

是数列

是等差数列，则

，

的第几项？

的一个子数列，其项数构成以3为首项，4为公差的等差

也是等差数列.

的第3项，第7项，第11项，?，这些项组

，

，则

.

分析：数列 数列，由于 解：（1） 数列

中项数被4除余3的项是

成一个新的等差数列（第二问中加以证明），其首项 （2）设

中的第

项是

的第 项，即

，∴

（3） 则

是等差数列，其通项公式为

设它是

中的第

. 项，则

，

说明：数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很

好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系.

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