第三节 三角函数的图像与性质-高考状元之路

第三节 三角函数的图像与性质

预习设计 基础备考

知识梳理 1．“五点法”作图原理

在确定正弦函数y?sinx在[O，2?]上的图像形状时，起关键作用的五个点是 、 、 、 、

2．三角函数的图像和性质

3．函数y?Asin(?x??),或y?Acos(?x??)(??0,且为常数）的周期T?y?Atan??x??)(??0,且为常数）的周期T= ，函数

典题热身

1．若直线y?a与函数y?sinx的图像相交，则相邻的两交点间的距离的最大值为 ( )

A?

? B.?2 c.3?2 D.2?

答案 D

2．（2011．课标全国卷）设函数f(x)?sin(2x??4)?cos(2x??4),则 ( )

A?y?f(x)在(0,)单调递增，其图像关于直线x?对称

24B?y?f(x)在(0,)单调递增，其图像关于直线x?对称 22C?y?f(x)在(0,)单调递减，其图像关于直线x?对称 24D?y?f(x)在(0,)单调递减，其图像关于直线x?对称 22 答案 D

3．(2011．山东高考)若函数f(x)?sin?x(??0)在区间[0,则?? ( )

?????????]上单调递增，在区间[,]上单调递减，332??23A. B. C.2 D.3 32 答案 B

4．(2011．天津高考)已知函数f(x)?2sin(?x??),x?R,其中??0,???.???.若f(x)的最小正周

期为6?，且当x??时,f(x)取得最大值，则 ( ) 2A.f(x)在区间[一2?，O]上是增函数

B．f(x)在区间[ -3?，—?]上是增函数 C．f(x)在区间[3?，5?]上是减函数 D．f(x)在区间[4?，6?]上是减函数 答案 A

?x??)(??0,|?|?5．（2011．辽宁高考）已知函数f(x)?Atan(f(?2)?,y?f(x)的部分图像如图，则

?24)?( )

3A.2?3 B.3 c.3 D.2?3

答案 B

课堂设计 方法备考

题型一 三角函数的定义域 【例1】求下列函数的定义域：

(1)y?lg(2sinx?1);

(2)y?cosx?16?x.

题型二 三角函数的值域和最值

【例2】已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1,x?R. (1)求函数f(x)的值域； (2)求函数f(x)在区间[

题型三 三角函数的单调性 【例3】求下列函数的单调区间：

?3?8,4]上的最小值和最大值．

(1)y?2sin(x?(2)y?tan(

?4)的减区间；

?3?2x)的减区间，

题型四 三角函数的周期性和对称性

【例4】(1)如果函数y?3cos(2x??)的图像关于点(?,0)中心对称，那么｜?｜的最小值是 ( )

43A????? B? c? D?

2643(2)y?|sinx|的最小正周期为 (3)y?2cosx,x?[0,2?]与y?2围成封闭图形的面积为 技法巧点

1．函数y?Asin(?x??)的单调性的求法

求函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的单调区间时，基本思路是把?x??看成一个整体，由

??2?2k???x????2?2k?(k?z)解出x的范围是增区间，由

?2?2k???x???3??2k? 2（k?z)解出x的范围为减区间，求y??Asin(?x??)(A?0,??0)的单调区间，只需求y?Asin?(x??)的相反区间即可，一般常用复合函数的单调性法则或数形结合求解，对于 y?Acos(?x??),y?Atan(?x??)的单调性的讨论 同上

2．三角函数值的大小比较

利用三角函数的单调性比较大小时，往往是利用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单调区间的两个同名函数值，再用单调性比较． 3．三角函数的值域或最值的求法

求三角函数的值域或最值时，通常是把函数式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式，如

y?Asin(?x??),或者利用换元法转化为一元二次函数的最值问题，但都应特别注意z的取值范围对

三角函数值的限制，不能机械地套用三角函数的有界性．

随堂反馈

1．（2010．合肥联考）函数y?1?2sinxcosx的最小正周期为；（ )

A?

? B.? c.2? D.4? 22．设点P是函数f(x)?sin?x(???0)的图像c的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是

?,则f(x)的最小正周期是( ） 4??A.2? B.? c? D??

42

3．函数y?sin(2x?A．关于点(C．关于点(?3)的图像（ ）

?3,0)对称 B．关于直线x?,0)对称， D．关于直线x??4对称 对称

?4?3

4．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是 ( ) ①在(0,?2)上递减；②以2n为周期；③是奇函数．

A.y?tanx B?y??sx C?y??sinx D?y?sinxcosx

5．已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R),下面结论错误的是( )

A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的区间[0,?2]上是增函数

C．函数f(x)的图像关于直线x?0对称 D．函数f(x)是奇函数

高效作业 技能备考

一、选择题

1．（2011．纛兴模拟）已知在函数f(x)?3sin?xR图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在

x2?y2?R2上，则f(x)的最小正周期为( )

A.1 B.2 c.3 D.4

2．(2011．枣庄调研)已知函数y?sin?x3在区间[o，t]上至少取得两次最大值，则正整数t的最小值是