人教课标版高中数学选修4-4《曲线的参数方程》教案-新版

第二讲 参数方程 2.1 曲线的参数方程

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点． （二）学习目标

1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义．

2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义． 3．掌握基本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用． （三）学习重点 1．参数方程的概念． 2．圆的参数方程及其应用． 3．参数方程与普通方程的互化． （四）学习难点

1．参数方程与普通方程的互化的等价转化．

2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第21页至第26页，填空：

一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：

?x?f(t) ? ①

?y?g(t)且对于t的每一个允许值，由方程组①确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标x,y之间关系的方程f(x，y)?0叫普通方程．

（2）想一想：参数方程与普通方程如何转化？

一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数x,y中的一

个与参数t的关系，例如x?f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y?g(x)，那么就是曲线的参数方程．

（3）写一写：圆的一般参数方程是什么？

①圆心在原点,半径为r的圆的参数方程为(θ为参数);

②圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).

2．预习自测

（1）方程??x＝1＋sin θ

?y＝sin 2θ

(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )

A.(1,1)

B.(32,12) C.(3332,2)

D.(2?2,?12) 【知识点】参数方程的定义

【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C满足题意 【思路点拨】根据参数方程的定义求解 【答案】C．

（2）下列方程：①??x＝m，?x?y＝m. (m为参数) ②?＝m，?y＝n. (m，n为参数) ③??x＝1，

?y＝2.0中，参数方程的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点】参数方程的定义

【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程 【思路点拨】由参数方程的定义求解 【答案】A

（3）参数方程??x＝cos α，

?y＝1＋sin α

(α为参数)化成普通方程为_______________.

④x＋y＝

【知识点】参数方程与普通方程互化

?x＝cos α，

【解题过程】由?变形整理得cos??x,sin??y?1，两式分别平方相加得

?y＝1＋sin α

x2?(y?1)2?1

【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数 【答案】x2?(y?1)2?1.

?x＝2＋cos α

（4）P(x，y)是曲线?(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最

?y＝sin α小值是________．

【知识点】参数方程的应用

?x＝2＋cos α

【解题过程】由P在曲线?上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)，

?y＝sin απ????

α＋4?＋6???2cos|cos α－sin α＋6|????

由点到直线的距离公式得d＝＝，

22－2＋6π??

当cos?α＋4?＝－1时，d最小，dmin＝＝－1＋32.

??2

【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解 【答案】－1＋32 (二)课堂设计 1．问题探究

探究一 结合实例，认识参数方程★ ●活动① 归纳提炼概念

在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标x,y的关系并不容易，我们先看下来的例子：

一架救援飞机在离灾区底面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？（不计空气阻力，重力加速度

g?9.8m/s2）

设飞机在点A将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中x轴为该平面与地面的交线，y轴经过A点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C，M(x，y)为C上任意点，设t时刻时，x表示物质的水平位移，y表示物质距地面的高度.由物理知识，物资投出机舱后，沿Ox方向以100m/s的速度作匀速直线运动，

??x?100t12gt 沿Oy反方向作自由落体运动，即：?y?500??2?令y?0,t?10.10s，代入x?100t，解得x?1010m.

所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，，可以使其准确落在指定地点.

由上可知：在t的取值范围内，给定t的一个值，就可以惟一确定x,y的值，反之也成立. 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：

?x?f(t) ? ①

y?g(t)?且对于t的每一个允许值，由方程组①确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标x,y之间关系的方程f(x，y)?0叫普通方程．

参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数.

【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 巩固基础，检查反馈

?x?3t(t为参数) 例1 已知曲线C的参数方程是?2?y?2t?1