配套创新设计·高考总复习限时训练 北师大理 含答案 小题专项集训十五 圆锥曲线

小题专项集训(十五) 圆锥曲线

(时间：40分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

x2y21

1．设椭圆m2＋n2＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为2，则此椭圆的方程为 ( )． x2y2

A.12＋16＝1 x2y2

C.48＋64＝1

x2y2

B.16＋12＝1 x2y2

D.64＋48＝1

21x2222

解析 依题意知：得m＝4.由n＝m－2＝12，所以所求椭圆方程是16

m＝2，y2

＋12＝1. 答案 B

x2y2

2．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为 ( )． 1A.3

1

B.2

3C.3

2D.2

a

解析 依题意知双曲线的顶点(c,0)，(－c,0)，焦点为(a,0)，(－a,0)，则c＝2，c1

故椭圆的离心率e＝a＝2. 答案 B

3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨

迹是 ( )． D．圆

A．椭圆 B．双曲线 解析 由条件知|PM|＝|PF|.

C．抛物线

∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆． 答案 A

x2y2

4．P为椭圆4＋3＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，→·→则PF1PF2＝ ( )． A．3

B.3

C．23

D．2

60°1→→解析 ∵S△PF1F2＝b2tan 2＝3×tan 30°＝3＝2|PF|PF2|·sin 60°， 1|·→|·→→PF→＝4×1＝2. ∴|PF1|PF2|＝4，∴PF1·2

2答案 D

6

5．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ( )． x2y2

A.4－2＝1 x22

C.2－y＝1

x2y2

B.2－3＝1 D．x2－y2＝1

6

解析 根据题目条件中双曲线的离心率为2，可以排除选项B和D，选项A中，一个焦点为(6，0)，其渐近线方程为x±2y＝0，那么焦点到渐近线的距离为d＝答案 C

6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，

|6±2×0|1＋?2?

2

2

＝2≠1，也可以排除，故选择正确答案C.

若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )． A．x＝1 C．x＝2

B．x＝－1 D．x＝－2

?p?

解析 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F?2，0?，所以过焦点且斜

??pp?p?

率为1的直线方程为y＝x－2，即x＝y＋2，将其代入y2＝2px＝2p?y＋2?＝2py

??y1＋y2

＋p，所以y－2py－p＝0，所以2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，

2

2

2

准线方程为x＝－1，故选B. 答案 B

7．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ( )． x2y2

A.9－16＝1

x2y2

B.16－9＝1 x2y2

D.16－9＝1(x>4)

x2y2

C.9－16＝1(x>3)

解析 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是x2

以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为9y2

－16＝1(x>3)． 答案 C

π

8．在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2＝3，|PF2|＝2|PF1|，则该双曲线的离心率等于 ( )． A．2

B.2

C．3

D.3

解析 在△F1PF2中，由余弦定理可得

222

π|PF2|＋|PF1|－|F1F2|1cos 3＝＝2，

2|PF2|·|PF1|

2343

解得|PF1|＝3c，则|PF2|＝3c，

4323

由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝3c－3c＝2a， c

即a＝3，故选D. 答案 D

x22

9．已知抛物线y＝8x的准线与双曲线m－y＝1(m>0)交于A，B两点，点F为抛

2

物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )． A.21

21B.2

C．2

D．25

解析 抛物线的准线方程为x＝－2，设准线与x轴的交点为D(－2,0)，由题意得∠AFB＝90°，故|AB|＝2|DF|＝8，故点A的坐标为(－2,4)．由点A在双曲?－2?x22421

线m－y＝1上可得m－42＝1，解得m＝17.故c2＝m＋1＝17，故双曲线的c

离心率e＝a＝ 答案 B

→＝λMQ→

10．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PM(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为 ( )． A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

2121＝42.

2

??x－x0＝λ?x0－x?，→→

解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM＝λMQ，得?

??y－y0＝－λy