大物习题解答-大学物理习题答案（许瑞珍 - 贾谊明）-第3章 刚体力学

第三章 刚体力学

3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩M??C?，

又因为转动定理 M?J??Jd? dt??C??Jd? dt?d?tC?????dt ?0?0Jln?C??t ?0J???0e当??C?tJ

1J?0时，t?ln2。 2Ct （2）角位移???0?dt??J?0??。 2?4?CJln2C0?0eC?tJdt?1J?0，

2C 所以，此时间内转过的圈数为

n?3－2 质量面密度为?的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为J??ab(a2?b2)。其中a，b为矩形板的长，宽。 12 证明一：如图，在板上取一质元dm??dxdy，对与板面

垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dJ?r2dm

y ?b 0 a dm x ???ab22ab??22?(x2?y2)?dxdy

?12ab(a2?b2)

证明二：如图，在板上取一细棒dm??bdx，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转

动惯量为

1dm?b2，根据平行轴定理，对与板12y 面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为

b 0 a dm x dJ?1adm?b2?dm(?x)2 1221a??b3dx??b(?x)2dx 12211??J??dJ??b3a??ba3?ab(a2?b2)

121212

3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。

解：受力分析如图

2mg?T2?2ma （1） T1?mg?ma （2） (T2?T)r?J? （3） (T?T1)r?J? （4）

图3-28 习题3-3图

T

a?r?，J?联立求出

12mr (5) 2a?11153g， T?mg，T1?mg，T2?mg 4842

3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 解：设杆的线??m，在杆上取一小质元dm??dx l图3-29 习题3-4图

df??dmg???gdx

dM???gxdx 考虑对称 1M?2???gxdx??mgl

4（2） 根据转动定律M?J??J

l20d? dt?t0?Mdt??Jd?

w00 ?11?mglt??ml2?0 412 所以 t??0l 3?g3－5 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。

解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律，有

m1g?T1?m1a1 T2?m2g?m2a

又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有

T1R?T2r?(J1?J2)?

而且，a1?R?，a2?r?，

?a1?m1R?m2rgR22J1?J2?m1R?m2rm1R?m2rgr

J1?J2?m1R2?m2r2

a2?T2 T1?J1?J2?m2r?m2Rrm1g

J1?J2?m1R2?m2r22Bm2ga2 T1a1 AJ1?J2?m1R2?m1Rr T2?m2g 22J1?J2?m1R?m2rm1g3－6 如本题图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。若B向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A、B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有 T1?m1gsin??f?m1a1

Nm2g?T2?m2a2

对滑轮而言，根据转动定律有 T2r?T1r?J?

由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 a1?a2?r?

AfT1a1T2?m1gBm2ga2 ?a1?a2?m2g?m1gsin???m1gcos?

m1?m2?Jr2m1m2g(1?sin???cos?)?(sin???cos?)m1gJr2 T1?2m1?m2?Jrm1m2g(1?sin???cos?)?m2gJr2 T2?m1?m2?Jr2

3-7 如图3-32所示，定滑轮转动惯量为 J，半径为 r；物体的质量为 m，用一细绳与劲度系数为 k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落。求：（1）物体下落的最大距离；(2) 物体的速度达最大值时的位置。 解：（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h

图3-32 习题3-7图

12kh?mgh 22mg h?

k121212（2）kx?mv?J??mgx

222

??22mgx?kx??

v??J?m???r2??dvmg若速度达最大值， ?0，x?dxk

3-8 如图3-33所示，一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0o时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0o的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？

解：机械能守恒

1211122 mg?J??kx

222222图3-33 习题3-8图

?1 根据几何关系 (x?0.5)?1.5?1 ??3.28rad?s

3-9 如图3-34所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕过O点的水平轴在竖直面内转动。若盘从图中实线位置开始由静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘转到图中虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。