论文正文-浅谈函数的零点问题

3.3 用函数单调性来判断根的唯一性

例4 判断函数f?x??e?x?2在???,2?内有且只有一个零点

xx??e?x?2,x??2证明：f?x??e?x?2??x

??e?x?2,x??2x显然，f?x?在???,?2?上连续，f??2??e?2?0，f?x?????x????，

? f?x?在???,?2?内至少存在一个零点；而当x??2时，f??x??ex?1?0，

由函数单调性的判别法知f?x?在???,2? 上单调递增，故f?x? 在???.?2? 上只能有一个零点。

例5 已知函数f?x??14x?bx2?cx?d,当x1?x2时，f?x?有极小值，且存在4t2??t2,t2?1?,使f??t2??0,证明：函数g?x??f?x??t1x在区间?t1,t2?内最多有一个零

点。

分析：尝试证明在?t1,t2?内单调即可，此时，若g?t1?g?t2??0,则g?x?在?t1,t2?内有唯一零点。否则，内没有零点。

证明：由题设，可知存在?,??R，使

f??x??x3?2bx?c??x?t1??x2?ax???, 且x2?ax???0 恒成立。又

f??t2??0,且f??x?在x?t1同号，所以f??x???x?t1??x?t2?.

另一方面，g??x??x?2bx?c??x?t1???x?t1???x?t2??1?.

322??因为t1?x?t2, 且t2?t1?1,所以?1?t1?t2?x?t2?0,

所以0??x?t2??1,?x?t2??1?0,而x?t1?0, 所以g?x???0,g?x?在?t1,t2?内单调连续

从而g?x?在?t1,t2?内最多有一个零点。

22四、 函数零点个数的问题

4.1 在数学学习和生产生活中，零点的个数问题始终是一个重要的问题。讨论一个函数到底有几个零点，通常可以采用先确定至多有几个零点，再确定至少有几个零点。从而得出零点的个数，在这过程中通常我们选择用罗尔定理来解决此类问题，罗儿定理在函数零点个数问题上充分体现了其优越性。

例1 讨论方程2?1?x的零点个数

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x2

解 设函数f?x??2?x?1，显然f?x?在定义域内是连续函数，分别令得x??1,,2,5

x212得

f??1???3?0,25?1?f???2??0, f?2???1?0,f?5??6?0

4?2?x2所以f?x?在区间??1,?,?,2?,?2,5? 各至少有一个零点，及方程2?1?x至少有三个

22??1??1????实根。 令 g?x??f???x???ln2??2?2,这个函数在区间???,???上连续且单独递

x2增，limg?x???2,limg?x????,所以f??x?在???,???有唯一的零点，所以由罗尔

x???x???2定理可知f??x???ln2??2?2x在???,???至多有两个零点。

x 同理可知f?x??2?x?1在???,???至多有三个零点。

x2 综上， 方程2?1?x在在???,???恰好有三个零点。

x2注：将方程转化为函数，再利用微积分的方法解决问题，这是一个重要的思想，即划归思

想，是一种常见的解题策略。

4.2利用微分中值定理来研究函数零点个数问题

例2 设f?x?在?a,b?上连续，且?f?x?dx??xf?x?dx?0。试证：f?x?在?a,b?内至

aabb少有2个零点。 证明: 由积分中值得

?baf?x?dx?f????b???,???a,b?.又?f?x?dx?0.

ab则f?a??0 。以下证明在?a,b?内还存在另一点?且???，使得f????0. 假设f?x?在?a,b?上仅有一个零点?，则f?x?在两个区间?a,??和??,b?上应分别保持同号。因

?f?x?dx?0.故f?x?在这两个区间上相互异号。由此可知：?x???f?x? 在

ab?a,b?是,

ba上不变号而且仅在x??处为零.从而

bb??f???x?aabx?d0x.但

??x?a?f?x?dx??axf?x?dx???f?x?dx?0.出现矛盾.故f?x?在?a,b?上至少

a还有另一个零点,即至少有两个零点。 例3设f?x?在?0,??上连续,且

??0f?x?sinxdx??f?x?c0sxdx?0.试证:f?x?在

0??0,??内至少有2个零点。

证明: 由于f?x?在?0,??连续,且?f?x?sinxdx?0,所有f?x?在?0,??上至少有一个

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零点?,假设f?x?在?0,??内仅有这一个零点,则f?x?在区间?0,??与??,??内应各自保持同号,但相互异号,由此知:f?x?sin?x???在?0,??内保持同号而且仅在x??处为零.从而应有这与

?f?x?sin?x???dx?0.

0???0f?x?sin?x???dx?cos??f?x?sindx?sin??f?x?cosxdx?0相矛盾。

00??故 f?x?在?0,??上至少有两个零点。

推广1 设f?x?在?a,b?上连续，且对于一切不大于正整数N的非负整数n.都有

?baxnf?x?dx?0.试证：f?x?在?0,??上至少有N?1个零点。

证明： 如果f?x??0 则此结论明显成立。

?如果f?x??0,则可以证明至少存在N?1个点x1,x2,x3N?x?1?,ab?且

x1?x2???xN?1,使得f?x?在xk?k?1,2,?N?1?的左、右邻域内符号相反。

实际上，假设这样的点只有m个且m?N?1,不妨设x??a,x1?时，

f?x??0;x??x1,x2?时，

f?x??0,以此类推，令

p?x???x1?x??x2?x??x3?x???xm?x?. 则当x??a,b?时，f?x?p?x??0 且不恒等

于零，又由f?x?p?x?的连续性知多项式，且m?N,由题设可知

b由于p?x?是x的m次?f?x?p?x?dx?o.而另一方面：

ab?f?x?p?x?dx?0.出现矛盾。

a因此至少存在N?1个点xk??a,b?,?k?1,2?N?1?,使得f?x?在它们的左，右邻域内符合相反。.由f?x??0则此结论显然成立.如果f?x??0,则可以证明至少存在N?1个点x1,x2,x3?xN?1??a,b?,且x1?x2???xN?1,使得f?xi??0?i?1,2,?N?1.?

假设这样的点只有m个：x1,x2,?xm,?m?N?1?. 取x0?a,xm?1?b, 则f?x?在

?xi,xi?1?内同号.对任意的C??c0,c1,?cm??0,X??1,x,x2?xm?,

由积分定理知有

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1?c0??1?????2c?i??i?1,2,?m?,使得 ?1??1?????????mm??c2?m??11??x1f?x?dx???x0????m????0. ??????xm?1???fxdx????mm?????xm??

由C的任意性，且范德蒙行列式不等于零，得

?1fxdx???0?????0. ????xm?1??fxdx??????xm?从而

f?x??0. 与f?x??0矛盾。 推广2 设f?x?在?a,b?上连续,证:f?x??0.

证明： f?x?在?a,b?上连续, 由 Weierstrass逼近定理???0存在多项式p 使得

f?p??. 从而

?baxnf?x?dx?0?n?0,1,2?,m,??. 试

?bafdx??2ba?f?2?fp?dx??ff?pdx???fdx???fdx.

2aaabb?b?所以 由?的任意性知

baf2x??2.

?baf2dx?0?f2?0. 则 f?x??0.

注：应用积分中值定理，Weierstrass逼近定理和高等代数中有关范德蒙行列式的函数的零点个数问题，对函数的零点个数问题的有关结果给出了一个新证明，而且对函数零点个数问题已有结论进行推广。. 参考文献：

[1] 储亚伟，汪代明：阜阳师范学院学报；2005年04期。 [2] 金云娟：丽水学院学报；2009年05期。 [3] 吴桂荣：高等数学研究；2004年04期。

[4] 李秀珍，隋梅真：高等数学学习指导，机械工业出版社，2005。 [5] 孙涛：数学分析经典习题解析，高等教育出版社，2004。

[6] 华东师范大学数学系编，数学分析，北京：高等教育出版社，2001.217-219。 [7] 同济大学数学系编，高等数学，北京：高等教育出版社，2002.127-160。

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