论文正文-浅谈函数的零点问题

?c1c22cnn??? 定理来证， 因 f?x???x?x???x???F?x????2n??1c1c2cn 而F?x? 在?0,1? 上连续且F?0??0?F?1???????0

12n 故 由罗尔定理知 在?0,1? 内至少有一个f?0,1? 内至少有一个f?x? 的零点。 例3 设函数f?x?是定义在闭区间?0,1?上的连续函数，且存在???0,1?，使得证明：令??x??x?xf?x?dx??f?x?dx，证明

0011?f?x?dx?0.

0????t?dt，则??0??0.于是

0 ??1?????t?dt?t??t???tf?t?dt

000111 =??1?? =

?tf?t?dt

01?10f?t?dt??tf?t?dt (??f?t?dt??tf?t?dt)

000111 =0

所以??0????1??0.又因为??x???0,1?，所以由罗尔定理可知，存在???0,1?，使得

?f?x?dt????????????0

?2.3我们常常将所要证明的问题转化为证明导数零点的存在性,我们可以用中值定理来证

明。

例 3设函数f?x?在?0,1?上连续，且个根。 证明：设

?f?x?dx?0，证明在开区间?0,1?内方程至少有一

01F?x????f?1?t??f?t???dt，则 F?0??0， 0?F?1????f?1?t??f?t???dt??0f?1?t?dt??0f?t?dt?0， 0?由罗尔定理知至少存在一点? ??0,1?，使F?0??0,f?1????f????0 例4 设ab?0，证明方程在与之间至少有一根。 证明：设f?x?? xe，由ab?0知以与

1x1111111与 为端点的区间不包含原点，故f?x?在以aba1为端点的区间山满足拉格朗日中值定理条件，从而存在介于a与b之间的?使得 b 4

1b1a?11?e?e?e??1??????， ba?ba?近而整理得出结论。

2.4 利用最值来证明函数零点存在

例 5 假设f?x?在?a,b?上可微，若f???a??0，若f???b??0，则f??0在?a,b?内至少有一个根。

证明：因为f???a??limf?a?x??f?a?x?x?0故对于充分小的正数x，f?x?a??f?a?， ?0，

于是，函数f?x?在a点不可能取得最小值；同理函数也不会在b点取得最小值， 所以，它只能在?a,b?取得最小值，由极值的必要条件知f??x??0在?a,b?内至少有一个根。

例6 设 f在?a,b?上连续，且对于?x??a,b?，存在y??a,b?，

使得 f?y??1f?x? ， 2证明：存在???a,b?，使得f????0。

证明;由f在?a,b?上连续知f也在a,b上连续。若记f在?a,b?上最小值

m?f???，则当m?0时结论成立；当m?0时，对???a,b?，存在???a,b?，使得

f?y??1f???，矛盾，所以存在???a,b?，使得f????0。 22.5利用函数的幂级数展开式证明函数零点存在问题 例7 证明多项式

x2x3x2n???? P?x??1?x? 2!3!2n!没有实根。

证明：假设P?x?存在实根x0，由P?x?的常数项为1大于0可知x0?0，设

x2x3???x0??x?2!3!2xn? 2?!?ne?x ?e??2n?1?!?x??2n?1?e?x?0 ，

与P?x0??0 矛盾，P?x?没有实根。

5

2.6 利用积分保号性判定零点存在

例8 设f?x? ?0,??? 在上可微，且 0?f??x??f?x?，f?0??0 求证：对?x??0,???有f?x??0

?x证明：由f??x??f?x??0 知e??f??x??f?x????0

1??t????x?0,??fx?fx?0,?即 e?故对，eft???????????0???0

?1即e?xf?x??0，f?x??0，而已知f?x??0，所以对于?x??0,???有f?x??0

1k01.7 利用积分中值定理判断零点存在

例9 设f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?内可导且满足f?1??k证明至少存在一点???0,1?，使得f????1??证明：设F?x??x1?x?xe1?xf?x?dx?k?1?，

??1?f????0。

?1?f?x?，由积分中值定理至少存在一点???0,???0.1?，使得

?k? F?1??f?1??k?1k0xe1?xf?x?dx?F???，

又由于F?X? 在??,1?上满足罗尔定理条件知至少存在一点????,1???0,1?，使得

F????0，即

e1????f?????f?????f???????0,

也就是 f?????1??

??1?f????0

三、零点唯一性的证明

在函数零点问题中，讨论某个零点是否唯一，是一种常见的题型，并且实际生活中也具有重要的意义。下面我们就找出几种能解决这类题型的工具。 3.1利用罗尔定理在函数零点唯一性中的证明

例1 已知f?x?在?a,???上二阶可微,f?a??0,f??a??0,f???a??0?x?a?,则

f?x??0在?a,???内只有一个实根.

证明:首先证明存在性

过定点a,f?a? 做曲线y?f?x?的切线;

Y?f?a??f??a??X?a?

?? 6

则切线与x轴的交点

x1?a由f???0,显然有f?x1??0.

接下来用反证法证明唯一性,如果存在x0??x0??a,???使得fx0??0,则由罗尔定理可知,存在???a,???使得ff?a??a, ?f?a????????0.这与f??x??0是矛盾的.故只有一个点x0使得

f?x0??0.

3.2 利用微分中值定理证零点的唯一性

例2 设函数f?x??x?x?1在?0,???内只有一个零点。

5（1） 构造方程x?x?1?0

（2） 在?0,???内构造区间?0,1?，函数在?0,1?区间上连续，且f?0???1?0,

5f?1??1?0 ，由零点定理得函数在闭区间?a,b?上连续，开区间内可导，且

区间两个端点函数相等，则在区间内至少存在一点?，使得f?????0。

f?x?在区间??1,?2?上满足罗尔定理，所以可推出，至少存在一点????1,?2?，使

4得f?????0，这与f?????5??1?0矛盾，故假设不成立，所以f?x?在?0,???内

只能有一个零点，也即方程x?x?1?0有且只有一个正根。

例 3f?x?在?0,1? 上连续，在?0,1?内可导，且0?f?x??1，f??x??1 证明函数f?x??x在?0,1?内有且只有一个零点。

证明：（1）构造方程g?x??f?x??x?0即证方程在?0,1?内有且仅有一个实根。 （2）g?x?在?0,1? 上连续，且g?0??f?0?，g?1??f?1??1，由条件知

50?f?x??1，故g?0??g?1??f?0????f?1??1???0，由介值定理，在?0,1?内至少有一

点?，使得g????f??????0，即使方程f?x??x在?0,1?内的一个实根。 （3）假设方程f?x??x在?0,1?内有两个实根x1,x2，所以x1,x2是函数

g?x??f?x??x在?0,1?内有且只有一个零点

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