全国通用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_2函数的单调性与最大(小)值课时

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??a，a≤b，

13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?

?b，a>b.?

设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，

则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

?log2x，0

解析 依题意，h(x)＝?

??－x＋3，x>2.

当02时，h(x)＝3－x是减函数， ∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案 1

14．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

axax2－2x＋a解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，

xx当a＞1时，x－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，

当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－1－a或x＞1＋1－a}． (2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

2

axax2－a∴g′(x)＝1－2＝2>0. xx因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数． 则f(x)min＝f(2)＝ln.

2

(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0. 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立． ∴a>3x－x.

令h(x)＝3x－x，x∈[2，＋∞)．

2

2

aax?3?29

由于h(x)＝－?x－?＋在[2，＋∞)上是减函数，

?2?4

∴h(x)max＝h(2)＝2. 故a>2时，恒有f(x)>0.

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因此实数a的取值范围为(2，＋∞).

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