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生：是不是可以这样说：6等于除了它本身以外的因数的和？
师：大家认为可以吗？
生：可以。
师：好！我们再继续寻找。在20以内，有没有这样的数，就是它可以等于除了它本身以外的因数的和？
师：注意，6之前的自然数还需要探索吗？
生：不需要了！因为6是在这个规则下的最小的数。
师：那我们就从数字7开始吧。
生：不行！因为数字7是质数，除了它本身以外的因数只有1，按照规则，首先就不可能构成加法运算，所以一定不符合。
师：看来你们比老师聪明！是的，是这样。这样的话，我们首先从20以内的数中挑选一下，哪些数可以进行探索。
生：按照质数与合数进行分类，把质数排除，余下的有8、9、10、12、14、15、16、18、20。
师：好！你们尝试探索吧。
(学生动笔尝试，有的进行同伴交流)
生：(陆续发现)老师，都没有这样的数啊！
师：是吗？我们再扩大一点范围继续寻找？
生：在30以内吧。尝试一下21、22、24、25、26、27、28、30这些数怎么样。
生：(陆续发现，非常惊喜)老师，终于又找到一个数啦！28是可以的！
师：(兴奋表情)是吗？说说看。
生：28的因数除了它本身以外分别是1、2、4、7、14，而这些数的和恰好又是28。
师：非常好！实际上你们经历了这样认真积极的探索过程之后，不知不觉已经发现了在数学史上最美妙的一类数，就是完全数。所谓完全数，是指一个数除它本身以外的所有因数的和等于它本身。如6的因数是1，2，3，6，而6＝1+2+3。所以，6就是一个完全数，也是最小的完全数。由此，远古的西方人认为，数字6是宇宙中最完美的数。甚至将数字6
赋予了“上帝用6天创造了世界”这样具有神秘色彩的宗教意义。28是第二个被发现的完全数。在探索完全数的历程中，留下过毕达哥拉斯、欧拉这样大数学家的足迹。而古希腊时代，只发现4个完全数，分别是6，28，496，8128。到目前为止，数学家凭借计算机的高速运算，已发现的完全数也只有38个。看来，完美的事物总是稀有的！
师：你们不妨再验证一下496这个数字吧。
(学生纷纷动笔验证，陆续发现符合完全数定义)
生：老师，第四个完全数是8128，这么大的一个数！那第五个完全数是多少呢？一定比8128大很多吧。
师：你提出的问题真是非常好！第五个完全数是多少呢？你们能不能根据前四个完全数的数字特征做一点大胆猜想？
(有的学生在默默思考，有的学生在认真观察前四个完全数，有的学生与同伴交流)
生：我觉得第五个完全数一定是五位数！因为我发现前四个完全数6，28，496，8128分别是一位数、二位数、三位数和四位数。
生：我觉得也应该是五位数，而且我猜想第五个完全数的末尾数字应该是6。
师：为什么说末尾数字是6呢？
生：因为前四个完全数6，28，496，8128的末尾数字分别是6，8，6，8，按照这样的规律，我猜想第五个完全数的末尾数字似乎应该是6。
师：第五个完全数末尾数字的确是6！但不是五位数，是33550336。是八位数呢！看来猜想很美妙，虽然有时猜想不一定正确，但猜想却是发现数学规律和学习数学的重要方法。我们还可以继续猜一猜。比如从前五个完全数的奇偶性的角度来看。
生：我知道了。完全数应该都是偶数。
师：也就是说，我们猜想这样的一个结论――所有的完全数都是偶数，没有奇完全数。是这样吗？我告诉大家，已经发现的所有的完全数的确是这样，但是不是只有38个完全数？如果还有，是不是也都是偶数，目前还没有得到准确结论。这恰恰是数学史上关于完全数问题的一个猜想！
师：同学们，数学就是这样的美妙和迷人！关于完全数，还有许多引人入胜的问题。比如，完全数是不是都可以表示为从1开始的若干连续自然数的和的形式等。同学们课下不妨再查找一些相关资料阅读学习。
【案例评析】
这是一个蕴涵了深刻的数学教育理念并极具创新价值的教学案例。完全数是数学史中一个饶有趣味的著名问题。能够超越教材之外，将数学史料巧妙地带入课堂，这本身就是一件难能可贵的事。更重要的是，关于完全数，数学史料中的确有许多话题，但就完全数本身的数字特征来说，并没有详尽的分析阐述。而本案例中，对完全数数字特征做了深刻挖掘，并以一种可为学生提供广阔探索空间的表现形态呈现出来，通过设计一系列虽然很简单却很基础并富于挑战性和趣味性的问题，让学生在观察、尝试、分析、思考、猜想和验证过程中培养对数字内在构成规律的感知、体验，从而培育学生认识数学、理解数学、热爱数学，以及发现创造数学的意识和能力，这是尤其值得提倡的。
本案例中，无论是首先让学生在框图中填数，还是归纳概括完全数定义，以及之后寻找探索20以内、30以内数字中有没有完全数的过程，尤其最后让学生猜想第五个完全数的数字特征等环节，都是围绕着调动和发展学生的数感这根主线的。在广泛的教育意义下，关于对6的数字特征探索，6=1+2+3=1×2×3的事实被发现的过程，让学生获得了数感的基本体验，同时也可以培养学生的审美直觉、抽象思维和逆向思维；关于对20以内、30以内数字中有没有完全数的寻找过程，可以培养学生的探究意识和类比思维；关于猜想第五个完全数的数字特征的过程，可以培养学生的数学发现和数学猜想的意识，培养类比、归纳、概括思维和逻辑推理。所以，从这个教学案例我们还可以体会到，发展学生的数感是激发学生数学学习的积极情感和培养学生数学素养的有效途径。
关于完全数的数学史背景知识的介绍，本案例的处理独具匠心。许多教师往往把数学史料作为一种纯粹的故事讲述出来，但本案例中，教师并没有直接讲出完全数的背景故事，而是先让学生探索作为最基本的两个完全数6和28的数字特征，然后再让学生自己去归纳概括完全数的定义，之后再把历史上关于完全数的故事讲解出来。这就把数学的史料进行了恰当的转化和有效的活化，不仅使史料更加生动，更重要的是给学生提供了体验数学发现的历程，无疑，这种处理彰显了数学史料的文化价值和教育价值。此外，本案例中，教师教学语言的使用也很有味道。包括尽力启发学生提出问题、调动学生积极思考、把教师对数学的情感巧妙地传递给学生、对学生的思考给予充分的鼓励和理性评价等，这些对教师如何组织数学教学都深有启发。
本案例虽然是从教材之外选择的内容，从培养数感的角度来说，案例本身似乎也淡化了通常的标准的笔算程序，更强调让学生在具体的问题情境中捕捉信息，并根据信息进行归纳概括和逻辑推理，探索发现数字背后的构成规律和数字之间的关系；但在新的课程理念下，这种新颖的教学内容选择和处理模式，以及背后所反映的深刻的教学思想，使对数感的培养更富有张力和厚度，极具启发意义！
7什么是空间观念?如何发展学生的空间观念?
《标准》在“课程设计思路”中明确提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”这句话既表明数学课程改革包括空间观念在内的核心概念，也道出了数学教学要重点关注的核心内容。
空间是物质存在的一种客观形式，是物质存在的表现。空间观念是由长度、宽度、高度表现出来的客观事物在人脑里留下的概括的形象。空间观念是创新精神所需的基本因素，没
有空间观念，几乎谈不上任何发明创造，许多的发明创造都是设计者先根据想象画出设计图，然后再做出模型，最后才完善成功的。在这过程中空间观念起着非常重要的作用，所以明确空间观念的意义，认识空间观念的特点，发展学生的空间观念非常重要。
《标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等”。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高、向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直接感知、对空间与平面相互关系的理解和把握基础上的逐步抽象概括的过程。
运用和借助实物及图形让学生通过观察、比较、综合、抽象分析认识客观事物，这是帮助学生建立空间观念最好的途径。具体而言，帮助学生建立空间观念的教学策略有以下几种。
(1)充分利用视觉思维发展学生的空间观念。视觉是几何知识学习的重要途径，而空间知识与现实世界紧密联系，因此，可以通过摆一摆、折一折、拼一拼、量一量等数学活动，引导学生学会观察，思考现实生活中有关空间与图形的问题，在提高学生视觉加工能力的基础上发展他们的空间感。
(2)在观察基础上进行概括和表述。概括能力是学生建构数学知识结构的必需条件，表述能力是学生形成空间观念的必要因素，因为，这样能够使学生把自己的想法直观化，或者用几何模型去表示抽象的数学对象、形式与结构，而这正是空间意识和空间观念包含的主要方面。
(3)操作与想象并行，引导学生自觉地把所学的几何知识运用于各种(数学的或非数学的)具体问题中。操作是小学生智力的源泉和思维的起点，多种形式的操作能使他们的视觉、触觉协调起来，充分发挥其内化功能，以丰富他们的空间观念。想象具有伴随性，具有隐性的特点。学生在观察实物、概括实物及几何图形时，在练习、操作过程中都始终伴随着想象，这些想象既有助于学生空间观念的建立，又有助于提高学生的创新能力。
上述三方面相辅相成，缺一不可。
在体验中感悟、在感悟中思考：“体积单位”课堂教学实录片段赏析本案例由海南省海口市英才小学陈英老师提供。
核心环节1
复习体积的含义，学习体积单位立方厘米、 立方分米、 立方米。
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核心环节2
体验、感悟1立方厘米和1立方分米。
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