动力学中的临界与极值问题

考点二 动力学中的临界与极值问题

动力学中的临界问题一般有三种解法： 1.极限法

在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的．

2．假设法

有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．

3．数学法

将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．

命题点1 接触与脱离的临界条件

3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量M＝10.5 kg，Q的质量m＝1.5 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝800 N/m，系统处于静止．如图所示，现给P施加一个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s内，F为变力，0.2 s 以后，F为恒力．求力F的最大值与最小值．(取g＝10 m/s2)

【解析】 设开始时弹簧压缩量为x1，t＝0.2 s时弹簧的压缩量为x2，物体P的加速度为a，则有

kx1＝(M＋m)g① kx2－mg＝ma② 1

x1－x2＝at2③

2

?M＋m?g

由①式得x1＝＝0.15 m，

k由②③式得a＝6 m/s2. Fmin＝(M＋m)a＝72 N，

Fmax＝M(g＋a)＝168 N.

【答案】 Fmax＝168 N Fmin＝72 N 命题点2 相对滑动的临界条件

4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m＝1.2 kg，长度l＝0.5 m．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M＝1 kg的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v0＝9 m/s，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2.求：

(1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小； (2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小．

【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a，由牛顿第二定律可知μ2Mg＝Ma

解得a＝5 m/s2.

(2)设小铅块最多能带动n个木块运动，对n个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n个木块发生运动时，则有μ2Mg≥μ1(mgn＋Mg)

解得n≤3.33

即小铅块最多只能带动3个木块运动

设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v，由动能定理可知－μ2Mg×9l12

＝M(v2－v0) 2

解得v＝6 m/s.

【答案】 (1)5 m/s2 (2)6 m/s 命题点3 数学方法求解极值问题

5．如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝加速度g取10 m/s2.求：

3

.重力3

(1)物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；

(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

【解析】 (1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得 1

L＝v0t＋at2①

2v＝v0＋at②

联立①②式，代入数据得a＝3 m/s2③ v＝8 m/s④

(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得

Fcos α－mgsin θ－Ff＝ma⑤ Fsin α＋FN－mgcos θ＝0⑥ 又Ff＝μFN⑦ 联立⑤⑥⑦式得

mg?sin θ＋μcos θ?＋maF＝⑧

cos α＋μsin α由数学知识得 cos α＋

323sin α＝sin(60°＋α)⑨ 33

由⑧⑨式可知对应F最小的夹角α＝30°⑩ 联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为 Fmin＝

133N. 5

133

N 5

“四种”典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相

【答案】 (1)3 m/s2 8 m/s (2)30°

对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.

(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．