平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(4) 同步练习

3．3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定⑷

【新知导读】 讨论：

老师给孩子们一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。 小明剪出了一个正方形后，这样检验它：他比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务。这种检验可信赖吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的。小兵就认为他正确地剪出了正方形。这对吗？ 小英剪了正方形后，比较了由对角线互相分成的四条线段，发现它们都是相等的。按照小英的意见，这说明了剪出的四边形是正方形。你们的意见怎样？ 你们认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 【范例点睛】

例1 如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F，求证：AF—BF=EF．

证明：∵四边形ABCD是正方形， 思考与表述∴AB=AD，∠BAD=90°

DA怎么想∵DE⊥AG，BF∥DE 怎么写要证AF-BF=EF∴∠AED=∠BFA=90° 只需证BF=AE只需证△ABF≌△DAE∴∠BAF+∠EAD=90°

只需找两个三角形全等的条件 E ∠EAD+∠ADE=90°

F∴∠BAF=∠ADE 在△ABF和△DAE中

BCG??BAF??ADE???BFA??AED ?AB?AD? ∴△ABF≌△DAE（AAS） ∴BF=AE∴AF—BF=AF—AE=EF．

EF例2 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边

CE上，连结BE、DG．

D⑴观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论； A⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，请说明理由．

BGC解：⑴BE=DG．

理由：∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形， ∴BC=DC，EC=GC， ∴∠BCE=∠DCG=90°， ∴△BCE≌△DCG，

∴BE=DG．

⑵由⑴证明的过程知，存在，是Rt△BCE和Rt△DCG．

将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG完全重合． （或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°，可与Rt△BCE完全重合） 【课外链接】

例3 已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位．．P．置.

（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这

PDC一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是

ADCk=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探PBCDABCDE图1

BA若B索：k=1则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点第一次回到原(E)，CADBC．．P．DAAB图2

来的起始位置.

（2）若k=2，则n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 ．．P．

n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．

（3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用．．P．

含k的代数式表示n）.

解： （1）12次

（2）24次；12次

（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.

【随堂演练】 一、选择题： 1．下列结论：

（1）正方形具有平行四边形的一切性质；（2）正方形具有矩形的一切性质； _ （3）正方形具有菱形的一切性质；（4）正方形具有四边形的一切性质． 其中正确结论有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2．四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判别此四边形是正方形的是（ ） （A）AC=BD，AB∥CD，AB=CD （B）AD∥BC，∠A=∠C （C）AO=CO，BO=DO，AB=BC （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 二、填空：

3．正方形的边长为a，当边长增加1时，其面积增加了 ．

4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，则∠E= °；∠AFC= °

_ _ D A D D A A _ E

E F _

F

P B E C F _

C B B C

（第4题） （第5题） （第6题）

5. 如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则∠BEC= 度.

6．如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= ．可以用一句话概括：

正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 ． 三．解答题:

7．把如图的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这４个全等的直角三角形拼成符合下例要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），把你的拼法按照实际大小画出．

（1）不是正方形的菱形； （2）不是正方形的矩形；

（3）梯形； （4）既不是矩形也不是菱形的平行四边形．

8．如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

C D

M O

N A B

9．如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF?AE于F，请你在AE上确定一点G，使?ABG??DAF，并说明理由． DC GEF

AB 10．（山东临沂实验区05中考）如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM?BE，垂足为M，AM交BD于点F． ⑴求证：OE＝OF； A D A D ⑵如图2，若点E在AC的延长线上，AM?BE于点O O M，交DB的延长线于点F，

E 其它条件不变，则结论“OEF M C B M C ＝OF”还成立吗?如果成

B

立，请给出证明；如果不成图1

图2 F E