2018年高考数学 命题角度1.3 数列的单调性与最值大题狂练系列 理

命题角度3：数列的单调性与最值

1.设数列?an?的前n项之积为Tn，且log2Tn?（1）求数列?an?的通项公式；

（2）设bn??an?1n?N*，数列?bn?的前n项之和为Sn．若对任意的n?N*，总有

n?n?1?2,n?N*．

??Sn?1?Sn，求实数?的取值范围．

n?1*【答案】（1）an?2,n?N；（2）??1?,???. ?2?,再由

可得数列

【解析】试题分析：(1)由

的通项公式；(2)先求出任意的

,可得

的取值范围.

,再根据对

（2）由bn??an?1??2n?11?2n?1，得Sn??·?n?2n?1??n，

1?2??所以Sn?1?Sn?2n?1?1???n?1??2n?1??n?2n??1???因为对任意的n?N*,????1， 2n11?1?,??，故所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ?l??．n22?2?

考点：1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和. 2.已知等比数列?an?的公比q?1，且a1?a3?20， a2?8． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?nnn， Sn是数列?bn?的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn?n?1???1??aan2恒成立，求实数a的取值范围．

n?1【答案】（Ⅰ）an?2；（Ⅱ） ???13?,?． 24??【解析】试题分析：

（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项a1和公比q表示出已知条件并解出，可得通项公式； （Ⅱ）由bn?nnn，因此用错位相减法可求得其前n项和Sn，对不等式Sn?n?1???1?a按an2n的奇偶分类，可求得参数a的取值范围．

试题解析：

a11?q2?20（Ⅰ）设数列?an?的公比为q，则{，

a1q?8∴2q?5q?2?0 ∵q?1，∴{2??a1?4n?1，∴数列?an?的通项公式为an?2． q?2n 2n?1123n∴Sn?2?3?4??n?1 2222112n?1n Sn? 3?4??n?1?n?2 2222211111n∴Sn?2?3?4? ?22222n?12n?211?n?11111n22?n?1?n?2 ∴Sn?1+2?3?=?12222n2n?12n?12n?12（Ⅱ）解： bn?

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∴??1??a?1?11n对任意正整数恒成立，设，易知f?n?单调递增． fn?1???2n2n111n为奇数时， f?n?的最小值为，∴?a?得a??， 22233n为偶数时， f?n?的最小值为，∴a?， 44n综上， ?13?13??a?，即实数a的取值范围是??,?． 24?24?*3.设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn?2an?1(n?N).

（1）求数列{an}的通项公式；

*（2）若对任意的n?N，不等式k(Sn?1)?2n?9恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）an?2n?13，??)64（2） [

试题解析：(1)令n?1，S1?2a1?1?a1，解得a1?1． 由Sn?2an?1，有Sn?1?2an?1?1，

两式相减得an?2an?2an?1，化简得an?2an?1（n≥2）， ∴ 数列{an}是以首项为1，公比为2 的等比数列，

n?1a?2{a}nn∴ 数列的通项公式．

2n?9n(2)由k(Sn?1)≥2n?9，整理得k≥2，

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令bn?2n?92n?72n?911?2nbn?1?bn?n?1??n?1n2，则22n2，

bn?1?bn?11?2n?02n?1，∴b1?b2?b3?b4?b5．

n=1，2，3，4，5时，n=6，7，8，…时，bn?1?bn?11?2n?02n?1，即b6?b7?b8????．

133b6?b6?64， ∴bn的最大值是64． ∵b5=32<3，??)64∴实数k的取值范围是．

[考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值

【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再

??S1，n＝1，

求an. 应用关系式an＝?时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果

?Sn－Sn－1，n≥2?

后，看看这两种情况能否整合在一起.

22??an??? c?a?an?Nnnn?14.已知数列是等差数列，

（1）判断数列（2）如果

?cn?是否是等差数列，并说明理由；

，试写出数列

a1?a3???a25?130,a2?a4???a26?143?13k?k为常数??cn?的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列

?cn?得前n项和为Sn，问是否存在这样的实数k，使Sn当且

仅当n?12时取得最大值。若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。 【答案】（1）数列

{cn}22是以?2d为公差的等差数列.（2）cn??2(1?k)n?25k?30k?5.

2（3）存在k??19或k?21. 【解析】 试题分析：1）设

{an}2222cn?1?cn?(an?an)?(an?an?1?2?1) d的公差为，确定

2222?2an?1?(an?1?d)?(an?1?d)??2d，作出结论.

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