当前位置:首页 > 2019年高考二轮(理科)数学提升训练:优化重组卷(1)(含解析)
111en
取x=1,2,3,…,n,则1+2+3+…+n≥ln.
n!(3)假设存在这样的切线,设其中一个切点为
x0-1x0-1??
?,∴切线方程为y+1=2(x-1),将点T坐标代入得ln T?x0,ln x0-
x0x0??
x0-1?x0-1?231
x0-x+1=x2,即ln x0+x-x2-1=0,①
0000?x-1??x-2?31
设g(x)=ln x+x-x2-1,则g′(x)=. x3∵x>0,∴g(x)在区间(0,1),(2,+∞)上是增函数,在区间(1,2)上是减函数, 1
故g(x)极大值=g(1)=1>0,g(x)极小值=g(2)=ln 2+4>0. 1?1?又g?4?=ln 4+12-16-1=-ln 4-5<0.
??
?1?
注意到g(x)在其定义域上的单调性,知g(x)=0仅在?4,1?内有且仅有一根,
??方程①有且仅有一解,故符合条件的切线仅有一条. 17.已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xln a,a>1.
(1)求证:函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增; 1??
(2)若函数y=?F?x?-b+b?-3有四个零点,求b的取值范围;
??
(3)若对于任意的x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,求a的取值范围.
[20xx·潍坊模拟]
(1)证明 ∵F(x)=f(x)-g(x)=ax+x2-xln a, ∴F′(x)=ax·ln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x. ∵a>1,x>0,∴ax-1>0,ln a>0,2x>0,
∴当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,即函数F(x)在区间(0,+∞)上单调递增. (2)解 由(1)知当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 1??
∴F(x)的最小值为F(0)=1.由?F?x?-b+b?-3=0,
??11
得F(x)=b-b+3或F(x)=b-b-3,
1??
∴要使函数y=?F?x?-b+b?-3有四个零点,只需
??1
b-??b+3>1,?1??b-b-3>1,
b2-4b-11
即b-b>4,即>0,
b
解得b>2+5或2-5
故b的取值范围是(2-5,0)∪(2+5,+∞).
(3)解 ∵?x1,x2∈[-1,1],由(1)知F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, ∴F(x)min=F(0)=1.
从而再来比较F(-1)与F(1)的大小即可. 1
F(-1)=a+1+ln a,F(1)=a+1-ln a, 1
∴F(1)-F(-1)=a-a-2ln a. 1
令H(x)=x-x-2ln x(x>0),
22
12x-2x+1?x-1?
则H′(x)=1+x2-x==x2>0,
x2∴H(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a>1,∴H(a)>H(1)=0.∴F(1)>F(-1). ∴|F(x2)-F(x1)|的最大值为|F(1)-F(0)|=a-ln a,
∴要使|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,只需a-ln a≤e2-2即可.令h(a)=a-1
ln a(a>1),h′(a)=1-a>0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增.∵h(e2)=e2-2,∴只需h(a)≤h(e2),即1
共分享92篇相关文档