2019年高考二轮(理科)数学提升训练：优化重组卷(1)(含解析)

3π2

答案 2＋2

1

10．若函数f(x)＝ln x－2ax2－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是______．

[20xx·青岛市考试]

ax2＋2x－1

解析 对函数f(x)求导，得f′(x)＝－(x>0)．依题意，得f′(x)<0

x在(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a>0且方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正根，∴a>－1，又∵a≠0， ∴－10. 答案 (－1,0)∪(0，＋∞)

11．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于原点对称，其最小正周期为4，且x∈(0,2)时，f(x)＝log2(1＋3x)，则f(2 015)＝______.

[20xx·珠海市模拟]

解析 由函数f(x)的最小正周期为4，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又函数f(x)的图象关于原点对称，知f(－x)＝－f(x)，故f(2 015)＝f(－1)＝－f(1)＝－log24＝－2. 答案 －2

12．若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点11

为n，则m＋n的最小值为________．

[20xx·昆明市调研]

解析 函数f(x)＝ax＋x－4的零点是函数y＝ax与函数y＝4－x图象交点A的横坐标，函数g(x)＝loga x＋x－4的零点是函数y＝loga x与函数y＝4－x图象交点B的横坐标．由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且直线y＝4－x与直线y＝x垂直，故直线y＝4－x与直线y＝x的111

交点(2,2)即是线段AB的中点，所以m＋n＝4，且m>0，n>0.所以m＋n＝4(mmn??11?1?＋n)?m＋n?＝4?2＋n＋m?≥1，当且仅当m＝n时等号成立．

????答案 1

三、解答题

ln x

13．已知函数f(x)＝x.

(1)确定y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)若a>0，函数h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有极值，求实数a的取值范围．

[20xx·阳光启学大联考]

解 (1)对已知函数f(x)求导得， 1－ln xf′(x)＝x2. 由1－ln x＝0，得x＝e.

∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，e]上单调递增， 在[e，＋∞)上单调递减． (2)由h(x)＝xf(x)－x－ax2， 可得h(x)＝ln x－x－ax2，

－2ax2－x＋11

则h′(x)＝x－1－2ax＝.

x

h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)＝－2ax2－x＋1在(0,2)上有零点，

1

∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－8. 综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．

14．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本1

为C(x)．当年产量不足80千件时，C(x)＝3x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋

10 000

x－1 450(万元)，每件商品售价为0.05万元，通

过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

[20xx·衡阳六校联考]

解 (1)由题意可得L(x)＝

?12?x＋10x＋250???，0

?10 0000.05×1 000x－?51x＋??x－1 450＋250?，x≥80，12

－??3x＋40x－250，0

即L(x)＝?10 000

1 200－?x＋??x?，x≥80.

1

(2)当0

10 000

x)≤1 200－2

10 000x·x

＝1 200－200＝1 000， ∴当且仅当x＝

10 000

即x＝100时，L(x)取得最大值，且L(100)＝1 000>950.x，综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 15．已知函数f(x)＝aln(2x＋1)＋bx＋1.

(1)若函数y＝f(x)在x＝1处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线2x＋y－3＝0平行，求a的值； 1

(2)若b＝2，试讨论函数y＝f(x)的单调性．

[20xx·揭阳模拟]

2bx＋2a＋b2a?1?

解 (1)函数f(x)的定义域为?－2，＋∞?，f′(x)＝＋b＝，

??2x＋12x＋13??a＝－，?f′?1?＝0，2由题意可得?解得?

?f′?0?＝－2，??b＝1，

3

所以a＝－2.

11

(2)若b＝2，则f(x)＝aln(2x＋1)＋2x＋1， 所以f′(x)＝

2x＋4a＋1

，

4x＋2

1° 令f′(x)＝1>0，

2x＋4a＋1

>0，由函数定义域可知，4x＋2>0，所以2x＋4a＋

4x＋2

?1?

①当a≥0时，x∈?－2，＋∞?，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

??1??

②当a<0时，x∈?－2a－2，＋∞?，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

??2° 令f′(x)＝

2x＋4a＋1

<0，即2x＋4a＋1<0，

4x＋2

①当a≥0时，不等式f′(x)<0无解；

1??1

②当a<0时，x∈?－2，－2a－2?，f′(x)<0，函数f′(x)单调递减．

???1?

综上，当a≥0时，函数f(x)在区间?－2，＋∞?为增函数；当a<0时，函数f(x)

??11????1

在区间?－2a－2，＋∞?为增函数；在区间?－2，－2a－2?为减函数．

????x－a

16．已知函数f(x)＝ln ax－x(a≠0)． (1)求函数f(x)的单调区间及最值；

111en

(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋2＋3＋…＋n≥ln(e为自然对数的底

n！数)；

(3)当a＝1时，是否存在过点(1，－1)的直线与函数y＝f(x)的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由．

[20xx·黄冈五月模拟]

x－a

(1)解 由题意得f′(x)＝x2.

当a>0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a2，无最大值．

当a<0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a2，无最大值．

x－11e

(2)证明 取a＝1，由(1)知f(x)＝ln x－x≥f(1)＝0，故x≥1－ln x＝lnx，