当前位置:首页 > 2019年高考二轮(理科)数学提升训练:优化重组卷(1)(含解析)
3π2
答案 2+2
1
10.若函数f(x)=ln x-2ax2-2x(a≠0)存在单调递减区间,则实数a的取值范围是______.
[20xx·青岛市考试]
ax2+2x-1
解析 对函数f(x)求导,得f′(x)=-(x>0).依题意,得f′(x)<0
x在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解,∴Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,∴a>-1,又∵a≠0, ∴-10. 答案 (-1,0)∪(0,+∞)
11.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于原点对称,其最小正周期为4,且x∈(0,2)时,f(x)=log2(1+3x),则f(2 015)=______.
[20xx·珠海市模拟]
解析 由函数f(x)的最小正周期为4,所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1),又函数f(x)的图象关于原点对称,知f(-x)=-f(x),故f(2 015)=f(-1)=-f(1)=-log24=-2. 答案 -2
12.若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logax+x-4的零点11
为n,则m+n的最小值为________.
[20xx·昆明市调研]
解析 函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图象交点A的横坐标,函数g(x)=loga x+x-4的零点是函数y=loga x与函数y=4-x图象交点B的横坐标.由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,且直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的111
交点(2,2)即是线段AB的中点,所以m+n=4,且m>0,n>0.所以m+n=4(mmn??11?1?+n)?m+n?=4?2+n+m?≥1,当且仅当m=n时等号成立.
????答案 1
三、解答题
ln x
13.已知函数f(x)=x.
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若a>0,函数h(x)=xf(x)-x-ax2在(0,2)上有极值,求实数a的取值范围.
[20xx·阳光启学大联考]
解 (1)对已知函数f(x)求导得, 1-ln xf′(x)=x2. 由1-ln x=0,得x=e.
∴当x∈(0,e)时,f′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0, ∴函数f(x)在(0,e]上单调递增, 在[e,+∞)上单调递减. (2)由h(x)=xf(x)-x-ax2, 可得h(x)=ln x-x-ax2,
-2ax2-x+11
则h′(x)=x-1-2ax=.
x
h(x)=xf(x)-x-ax2在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)=-2ax2-x+1在(0,2)上有零点,
1
∴φ(0)·φ(2)<0,解得a>-8. 综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
14.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本1
为C(x).当年产量不足80千件时,C(x)=3x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+
10 000
x-1 450(万元),每件商品售价为0.05万元,通
过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
[20xx·衡阳六校联考]
解 (1)由题意可得L(x)=
?12?x+10x+250???,0 ?10 0000.05×1 000x-?51x+??x-1 450+250?,x≥80,12 -??3x+40x-250,0 即L(x)=?10 000 1 200-?x+??x?,x≥80. 1 (2)当0 10 000 x)≤1 200-2 10 000x·x =1 200-200=1 000, ∴当且仅当x= 10 000 即x=100时,L(x)取得最大值,且L(100)=1 000>950.x,综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 15.已知函数f(x)=aln(2x+1)+bx+1. (1)若函数y=f(x)在x=1处取得极值,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-3=0平行,求a的值; 1 (2)若b=2,试讨论函数y=f(x)的单调性. [20xx·揭阳模拟] 2bx+2a+b2a?1? 解 (1)函数f(x)的定义域为?-2,+∞?,f′(x)=+b=, ??2x+12x+13??a=-,?f′?1?=0,2由题意可得?解得? ?f′?0?=-2,??b=1, 3 所以a=-2. 11 (2)若b=2,则f(x)=aln(2x+1)+2x+1, 所以f′(x)= 2x+4a+1 , 4x+2 1° 令f′(x)=1>0, 2x+4a+1 >0,由函数定义域可知,4x+2>0,所以2x+4a+ 4x+2 ?1? ①当a≥0时,x∈?-2,+∞?,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; ??1?? ②当a<0时,x∈?-2a-2,+∞?,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. ??2° 令f′(x)= 2x+4a+1 <0,即2x+4a+1<0, 4x+2 ①当a≥0时,不等式f′(x)<0无解; 1??1 ②当a<0时,x∈?-2,-2a-2?,f′(x)<0,函数f′(x)单调递减. ???1? 综上,当a≥0时,函数f(x)在区间?-2,+∞?为增函数;当a<0时,函数f(x) ??11????1 在区间?-2a-2,+∞?为增函数;在区间?-2,-2a-2?为减函数. ????x-a 16.已知函数f(x)=ln ax-x(a≠0). (1)求函数f(x)的单调区间及最值; 111en (2)求证:对于任意正整数n,均有1+2+3+…+n≥ln(e为自然对数的底 n!数); (3)当a=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数y=f(x)的图象相切?若存在,有多少条?若不存在,请说明理由. [20xx·黄冈五月模拟] x-a (1)解 由题意得f′(x)=x2. 当a>0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),此时函数在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值. 当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0),此时函数在(-∞,a)上是减函数,在(a,0)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值. x-11e (2)证明 取a=1,由(1)知f(x)=ln x-x≥f(1)=0,故x≥1-ln x=lnx,
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