简易逻辑知识概要Microsoft Word 文档

选修2-1第一章常用逻辑用语

一、命题与量词

（一）考纲解读： 1.理解命题的概念.

2.理解全称量词与存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. （二）知识概要：

1．命题：可以判断真假的语句叫做命题 2.全称量词与全称命题：“对所有的”、“对一切”等短语在逻辑中通常叫做全称量词，全称量词用符号“?”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题； 全称命题p：?x?A，有p(x)成立。

3.存在量词与特称命题：“存在一个”、“至少有一个”、“有的”等短语在逻辑中通常叫做存在量词，存在量词用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题； 特称命题p：?x?A，使p(x)成立。 4.含量词命题的否定

全称命题p：?x?A，有p(x)成立；其命题的否定?p为：?x?A，使p(x)不成立. 特称命题p：?x?A，使p(x)成立；其命题的否定?p为：?x?A，有p(x)不成立.

具体操作就是在命题p中，把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

二、基本逻辑联结词

（一）考纲解读： 了解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义. （二）知识概要： 1.逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。

或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定

1.简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 2.表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题， 复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”

4．真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。

p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 P或q 真 真 真 假 P且q 真 假 假 假 注意：真值表 P或q：“一真为真、两假才为假”， P且q：“一假为假、两真才为真”

三、充分条件、必要条件与命题的四种形式

（一）考纲导读：

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选修2-1第一章常用逻辑用语

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

（二）知识概要：

1.充分条件、必要条件和充要条件 （1）．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。 （2）．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。A?B （3）．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。 2.充要条件的判断

（1）若A?B成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。

（2）若A?B且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。 （3）若A?B成立则A、B互为充要条件。 注意：

（1）证明A是B的充要条件，分两步：

充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B； 必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。

（2）给定两个命题，p、q, 可以考虑集合A=｛x︱x满足p｝,B=｛x︱x满足q｝,则有

若A?B，则p 是q的充分条件。 若A?B，则p 是q的必要条件。

若A=B，则p 是q的充要条件。 记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。 3.四种命题的形式

（1）一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为： 原命题：若p则q（p?q）逆命题：若q则p(q?p)

否命题：若┐p则┐q(?p??q)逆否命题：若┐q则┐p(?q??p) （2）四种命题的关系：

原命题 逆命题 互 逆 互 否

若p则q 若q则p 逆

为 互 互

逆 为

否 否

逆否命题 否命题 互

互逆 若?q则若?p则（3）一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：

?q?p（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真，互为逆否命题的两个命题等价。 （4）逆命题为真，否命题一定为真。 注意：

对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论

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选修2-1第一章常用逻辑用语

2012年简易逻辑部分各地高考题荟萃

一、 选择题：

1. 北京3．设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当a?0时，如果b?0同时等于零，此时a?bi?0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果

【答案】B a?bi已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a?0，因此想必要条件，故选B。

2.福建 3下列命题中，真命题是（ ）

A．?x0?R,ex0?0 B．?x?R,2x?x2

C．a?b?0的充要条件是

a??1 D．a?1,b?1是ab?1的充分条件 b考点：逻辑。难度：易。分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。 解答：A中，?x?R,ex?0。 B中，?x?2,x?4,2x?x2，?x,2x?x2。

?a?b?0a C中，?的充要条件是??1。 D中，a?1,b?1可以得到ab?1，当ab?1时，不一定可

b?b?0以得到a?1,b?1。

3.湖北2．命题“?x0?eRQ，x03?Q”的否定是

A．?x0?eRQ，x03?Q B．?x0?eRQ，x03?Q C．?x?eRQ，x3?Q D．?x?eRQ，x3?Q 考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.

难易度：★解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选D

?，则tanα=1”的逆否命题是 4????A.若α≠，则tanα≠1 B. 若α=，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=

4444?【答案】C【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若?p，则?q”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆

4?否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.

44.湖南2.命题“若α=

【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 5.江西5．下列命题中，假命题为（ ）

A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．z1,z2?C,z1?z2为实数的充分必要条件是z1,z2为共轭复数 ．

01 C．若x,y?R，且x?y?2,则x,y至少有一个大于1 D．对于任意n?N,Cn?Cn?n?Cn都是偶数

5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令z1??1?mi,z2?9?mi?m?R?,显然z1?z2?8?R，但z1,z2不互为共轭复数，故B为假命题,应选B.

【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、 “且”、 “非”的含义等. 6.辽宁4. 已知命题p:?x1,x2?R,f?x2?-f?x1?

???x-x??0，则?p是

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选修2-1第一章常用逻辑用语

A．?x1,x2?R,f?x2?-f?x1?C?x1,x2?R,f?x2?-f?x1?????x-x?<0 D．?x,x211??x-x??0 B．?x,x21122?R,?f?x2?-f?x1???x2-x1??0 ?R,?f?x2?-f?x1???x2-x1?<0

【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题.

【解析】全称命题的否定形式为将“?”改为“?”，后面的加以否定，即将“f?x2?-f?x1?为“f?x2?-f?x1????x-x??0”改

21?，故选C. ??x-x?<0”

2137.山东3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) x在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”等价于0?a?1；q：“函数g(x)=(2-a) x在R上是增函数”等价于

32?a?0，即0?a?2,且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。

8.陕西3. 设a,b?R，i是虚数单位，则“ab?0”是“复数a?

b为纯虚数”的（ ） iA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】“ab?0”则a?0或b?0，“复数a?“ab?0”是“复数a?b为纯虚数”则a?0且b?0，则 ib为纯虚数”的必要不充分条件，故选B i9.四川16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]?2，[1.5]?1，[?0.3]??1。设a为正整数，数列{xn}xn?[满足x1?a，xn?1?[a]xn2①当a?5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；

③当n?1时，xn?a?1；

](n?N?)，现有下列命题：

②对数列{xn}都存在正整数k，当n?k时总有xn?xk；

④对某个正整数k，若xk?1?xk，则xn?[a]。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案]①③④（lby lfx）

xn?[[解析]若a?5，根据xn?1?[当n=1时，x2=[

a]xn2](n?N?)

5?13?1]=3, 同理x3=[]?2, 故①对. 22对于②③④可以采用特殊值列举法：

当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对. 当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对 综上，真命题有 ①③④ .

[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法. 10.天津（２）设??R，则“?=0”是“f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数”的

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选修2-1第一章常用逻辑用语

（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件

（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件

2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.

【解析】∵?=0?f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数，反之不成立，∴“?=0”是“f(x)=cos(+x)?(x?R)为偶函数”的充分而不必要条件. 11新课标（3）下面是关于复数z?2的四个命题：其中的真命题为（ ） ?1?i2 p1:z?2 p2:z?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1

(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?

【解析】选C z?22(?1?i)???1?ip1:z?2，p2:z2?2i，p3:z的共轭复数为?1?i(?1?i)(?1?i)

?1?i，p4:z的虚部为?1

12.浙江3．设a?R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：

a2?，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A 1a?113.重庆7、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的

（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 【解析】选D

由f(x)是定义在R上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期， 所以【3,4】上的减函数

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