步步高 江苏专用（理）2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第3讲平面向量

②建立坐标系，通过坐标运算求解．

(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．

求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．

→→→→→ (1)(2013·山东)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝

→→→→

λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

→→→→→→→→1

(2)(2013·重庆改编)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则

2→

|OA|的取值范围是________． 77

答案 (1) (2)?，2?

12?2?→→→→

解析 (1)由AP⊥BC知AP·BC＝0， →→→→→→即AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB) →→→→＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2

1

－?－λ×9＋4＝0， ＝(λ－1)×3×2×??2?7

解得λ＝. 12→→(2)∵AB1⊥AB2，

→→→→→→∴AB1·AB2＝(OB1－OA)·(OB2－OA) →→→→→→→2＝OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＋OA＝0， →→→→→→→∴OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＝－OA2. →→→∵AP＝AB1＋AB2.

→→→→→→∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA， →→→→∴OP＝OB1＋OB2－OA. →→

∵|OB1|＝|OB2|＝1，

→→→→→→→→∴OP2＝1＋1＋OA2＋2(OB1·OB2－OB1·OA－OB2·OA) →→→＝2＋OA2＋2(－OA2)＝2－OA2，

→1→1→1∵|OP|<，∴0≤|OP|2<，∴0≤2－OA2<，

2447→7→

∴

考点三 平面向量与三角函数的综合应用

例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其

中0<α

π

(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；

4π

(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．

3

(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数

式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．

(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，

π

c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

4∴f(x)＝b·c

＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α ＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)． π

?

2?23

－，－1

∴t＝－

232时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－， 222

π2x＋?＝－， 即2sin??4?2πππ5

∵

4612

311π∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为. 212π

(2)∵a与b的夹角为，

3

πa·b∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

3|a|·|b|π∵0<α

∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， π

2α＋?＋2sin 2α＝0. ∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin?3??

533∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－. 225

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数

中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

3

sin x，?，b＝(cos x，－1)． 已知向量a＝?4??

(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sin B＝

6ππ

，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围． 363

33

解 (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.

44cos2x－2sin xcos x1－2tan x8

∴cosx－sin 2x＝＝＝. sin2x＋cos2x1＋tan2x5

2

π3

2x＋?＋， (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin?4?2?由正弦定理

ab2π

＝，可得sin A＝，∴A＝. sin Asin B24

ππ12A＋?＝2sin?2x＋?－， ∴f(x)＋4cos?6?4?2??πππ11π

∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．

34412∴

3π1－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤2－. 262

1． 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表

→→→示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB＝OB－OA (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

2． 根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角

线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直． 3． 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可

能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

4． 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向

量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

→

1． 已知两点A(1,0)，B(1，3)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设OC

→→

＝－2OA＋λOB(λ∈R)，则λ＝________. 答案 1

解析 根据∠AOC＝120°，

可知点C在射线y＝－3x(x<0)上，设C(a，－3a)， 则有(a，－3a)＝(－2,0)＋(λ，3λ)＝(－2＋λ，3λ)， 即得a＝－2＋λ，－3a＝3λ，消去a，得λ＝1.

ππ

2． 函数y＝tan(x－)(0

42

→→→

过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(OB＋OC)·OA＝ ______. 答案 8

→

解析 A点坐标为(2,0)，即OA＝(2,0)，

ππ

由y＝tan(x－)的图象的对称性知A是BC的中点．

42→→→∴OB＋OC＝2OA，

→→→→→→∴(OB＋OC)·OA＝2OA·OA＝2×|OA|2＝8.

3． 在△ABC中，向量m＝(2cos B,1)，向量n＝(1－sin B，－1＋sin 2B)，且满足|m＋n|＝|m

－n|.

(1)求角B的大小；

(2)求sin A＋sin C的取值范围．

解 (1)由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥n?m·n＝0. 然而m＝(2cos B,1)，n＝(1－sin B，－1＋sin 2B)， 所以有m·n＝2cos B－sin 2B－1＋sin 2B＝2cos B－1＝0， 1

得cos B＝，从而B＝60°.

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