步步高 江苏专用（理）2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第3讲平面向量

第3讲 平面向量

【高考考情解读】 从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．

1． 平面向量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. a

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.

|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4． 平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →

|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， x1x2＋y1y2a·b

则cos θ＝＝2222. |a||b|x1＋y1x2＋y2

考点一 平面向量的概念及线性运算

12→

例1 (1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE

23

→→

＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

→→→→→→

(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，则向量CA在→

CB上的投影为________． 1

答案 (1) (2)3

2

→→→1→2→1→2→→

解析 (1)如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)

23231→2→121

＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.

63632→→→

(2)由OA＋AB＋AC＝0， →→→得AB＋AC＝AO.

又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC， ∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. →→

由|OA|＝|AB|＝2， 知△AOC为等边三角形．

π→→→

故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB＝2cos ＝3.

6

(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代

数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．

(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．

→→→→→ (1)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝

→

mAM成立，则m的值为________．

→→→→→

(2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°， →→→→→→→→OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案 (1)3 (2)6

→→→

解析 (1)∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心． →→→

∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.

→→→→→→

(2)方法一 如图，OC＝OB1＋OA1，|OB1|＝2，|OA1|＝|B1C|＝4， →→→∴OC＝4OA＋2OB. ∴λ＋μ＝6.

→→→→→→→

方法二 由OC＝λOA＋μOB，两边同乘OC，得OC2＝λOA·OC＋0，∴λ＝4. →→→→∴OC＝4OA＋μOB，两边同乘OA， →→→→得OC·OA＝4＋μOA·OB， 1

即3＝4＋(－)μ.∴μ＝2.

2∴λ＋μ＝6.

方法三 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，

则A(1,0)，C(23cos 30°，23sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)． 13即A(1,0)，C(3，3)，B(－，)．

22

→→→

由OC＝λOA＋μOB得，

??3?2μ＝

1

λ－μ＝3，2

3.

??μ＝2∴?.∴λ＋μ＝6. ?λ＝4?

考点二 平面向量的数量积

例2 (1)(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为

→→→→BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________． (2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b －c|的最大值为________． 答案 (1)2 (2)1

解析 (1)方法一 坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)． →→→

故AB＝(2，0)，AF＝(x,2)，AE＝(2，1)， →

BF＝(x－2，2)，

→→∴AB·AF＝(2，0)·(x,2)＝2x. →→又AB·AF＝2，∴x＝1.

→

∴BF＝(1－2，2)．

→→∴AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2. →→→→

方法二 用AB，BC表示AE，BF是关键． →→→→设DF＝xAB，则CF＝(x－1)AB. →→→→→AB·AF＝AB·(AD＋DF) →→→→＝AB·(AD＋xAB)＝xAB2＝2x， →→又∵AB·AF＝2，∴2x＝2， ∴x＝

2→→→→?2?→

.∴BF＝BC＋CF＝BC＋AB. 2?2－1?

→→→→?→?2?→?∴AE·BF＝(AB＋BE)·BC＋AB

??2－1??2→1→→→

AB＋BC??BC＋?－1?AB? ＝?2????2??＝?＝?

2?→21→2

AB＋BC

2?2－1?

12?

－1×2＋2×4＝2. ?2?

(2)方法一 由题意知a2＝b2＝c2＝1， 又a·b＝0，

∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0， ∴a·c＋b·c≥c2＝1，

∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c ＝3－2(a·c＋b·c)≤1， ∴|a＋b－c|≤1.

方法二 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，

则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)， 则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y) ＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1. 又a＋b－c＝(1－x,1－y)， ∴|a＋b－c|＝?1－x?2＋?1－y?2 ＝?x－1?2＋?y－1?2＝3－2?x＋y?≤1.

(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：

①直接利用数量积的定义；