高数下册课外练习题

20．曲线y=ex, y=e-x及y=2所围成的平面均匀薄片的重心坐标是( )

334ln2?2)； (B) (0.5,2)； (C) (0,4ln2?3)； (D) (0.5, 4ln2?3). (A) (0,

4ln2?24ln2?24ln2?24ln2?2

4ln2?二、填空题

1. 根据二重积分几何意义可确定积分

x2?y2?a2??a2?x2?y2d?= . 2. 已知D为x2?y2?a2，根据二重积分几何意义可确定??(a?x2?y2)d?= .

D3. 设f(x,y)是连续函数，D为x2?y2??2，则lim??012????f(x,y)d?= .

D4. 已知D由直线y?x，y?2x和x??2围成，则积分??Dsinxd?的值为 . x5．已知D由y?2，y?x及xy?1围成，则积分??Dxdxdy的值为 . y226．已知D由x?y2及x?y?2围成，则积分??xydxdy的值为 .

D7. 由平面x?0，y?0，z?0，x?y?1及曲面z?x2?y2所围成的立体的体积为 . 8．由曲面x2?y2?2ax，az?x2?y2(a?0)及平面z?0所围成的立体的体积为 . 9. 交换积分?dx?110elnx0xf(x,y)dy的次序得 .

10. 交换积分?dx?3f(x,y)dy的次序得 . x11. 交换积分?dx?0a2ax?x2xx2f(x,y)dy的次序得 .

31(3?x)212. 交换积分?dx?010f(x,y)dy??dx?10f(x,y)dy的次序得 . 2??xydxdy?D13. 若D是由y?kx(k?0)，y?0和x?1围成的三角形区域，且

k? .

1，则1514. 已知D为x2?y2?ax (a?0)，积分为 . 15. 将积分?dy?02??xdxdy化为极坐标下的二次积分的表达式

D2R2Ry?y2022f(x,y)dx化为极坐标形式的二次积分为 .

zln(x2?y2?z2?1)dv的值为 . 16. 已知?:x?y?z?1，则三重积分I????222x?y?z?1?17. 已知?由曲面z?xy，平面y?x，x?1及z?0围成，则???f(x,y,z)dxdydz化为

?直角坐标系下的三次积分为 .

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18. 设f(x)连续，?xf(x)dx?1?012?4，则?120dy?1?y2yxf?x2?y2dx= .

?19. 曲面z?x2?y2在平面z＝1下方的面积为 . ?y?z20. 曲线?绕z 轴旋转一周而成的曲面介于平面z＝2 和z＝6 之间的部分的面积

x?0?为 .

三、 综合题

y1．??xsinxdxdy，其中D由直线y?0，y?x及x?1围成.

D2．求??xy2cos(x2y)dxdy，其中D为0?x?2，0?y?D?2.

3．计算??xdxdy，其中D是以0(0，0)，A(1，2)，B(2，1)为顶点的三角形区域.

D4．计算??e?ydxdy其中D是以0(0，0)，A(1，1)，B(0，1)为顶点的三角形区域.

D25．求??xy(x?y)dxdy，其中D由x?y?0，x?y?0及x?1围成.

D6．求??(x?y)dxdy，其中D为x?y?1.

D7．计算I???y[1?xe2D1(x2?y2)]dxdy，其中D由y?x，y??1，x?1围成.

8．求??y2?x3dxdy，其中D为0?x?1，y?1.

D9．计算二次积分： (1)?dy?sinxdx;

?y??x11xydy; (2)?dx?230x1?y2x4x?x?xdy??dx?sindy. (3)?dx?sin1x2x2y2y2??10．求??x(sinyexD2?cosy?1)dxdy，其中D为?1?x?siny，y??2.

11．求?dx?01x12．计算?10x?xdx. lnxD03e1?y22dy.

13．利用极坐标计算积分??sinx2?y2dxdy，其中D为?2?x2?y2?4?2.

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14．求??(x3y?xx2?y2?y3x2?y2)dxdy，其中D为x2?y2?ax (a?0).

D15．计算??D1dxdy，其中D是x2?y2?2x内部x?1的部分. 222(x?y)16．求??x2?y2?4dxdy，其中D为x2?y2?9.

D17．求??D?x2?y2,f(x,y)dxdy，其中D为0?x?2，y?2，而f(x,y)???4，a2ax?x20xx2?y2?4.

x2?y2?418．计算二次积分?dx?x2?y2dy (a?0).

2bb219．设f(x)在[a，b]上连续，使用二重积分证明??f(x)dx??(b?a)??f(x)?dx.

??a?a?bb1dx?(b?a)2. 20．设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)>0，试用二重积分证明?f(x)dx?aaf(x)?21．设f(x)是[0，1]上连续且单调减少的正值函数，证明

?100xf2(x)dxxf(x)dx1f(x)dx?. ??f(x)dx0101222．闭区域D由y2?2?x及2y2?x?1围成，求D的形心.

23．设三角形薄板所占区域由直线x?0，y?0及x?y?1围成，面密度??x2?y2，求它的

重心.

24．平面薄片所占闭区域D由曲线y2?x3及直线y?x围成，面密度??1，求它对x轴和y

轴的转动惯性Ix，Iy.

25．说明下列等式是否成立，为什么？其中，R?0. ?:x2?y2?z2?R2，

?1:x2?y2?z2?R2, z?0，

?2:x2?y2?z2?R2, x?0,y?0,z?0

(1) (2) (3)

???xdv?0, ???zdv?0

?????xdv?4???xdv, ???zdv?4???zdv

?1?2?1?2???xydv????yzdv????zxdv

?1?1?126．计算三重积分I????ycos(z?x)dv，其中?由曲面y??平面y?0，z?0及x?z?x，?2围成.

27．密度为常数?的四面体由x?y?z?1及三个坐标面围成，求它关于z轴的转动惯量IZ. 28．计算三重积分I????z2dv，其中?:x2?y2?z2?R2,x2?y2?z2?2Rz.

? 35

29．计算三重积分I????eydxdydz，其中?由x2?y2?z2?1，y?0及y?2围成.

?30．用柱面坐标计算三重积分???x2dv，其中?由曲面x2?y2?2z及平面z?2围成.

?31．利用三重积分求由曲面az?x2?y2及z?2a?x2?y2所围成的立体的体积. 32．求由圆锥面z?1?x2?y2与z?0所围立体的形心. 33．计算三次积分?dx?022x?x20dy?zx2?y2dz.

0?a34．用球面坐标计算三重积分???(x2?y2)dv，其中?为a2?x2?y2?z2?b2，z?0. 35．用球面坐标计算三重积分???zdv，其中?由曲面z?a2?x2?y2及z??x2?y2 围成.

36．计算三重积分I????z(x2?y2)dv，其中?为1?x2?y2?z2?4，z??x2?y2. 37．设F(t)????f(x2?y2?z2)dv，求F'(t)，其中?:x2?y2?z2?t2，f在?上连续.

?38．球体?为x2?y2?z2?2az，它的密度为??x2?y2?z2，求它的重心. 39．计算三次积分?dx??111?x20dy?1?1?x2?y221x?y?z221dz.

40．计算三重积分???1?x2?y2?z2dxdydz，其中?由曲面z??x2?y2及平面z?1 围成.

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