高数下册课外练习题

第八章 空间解析几何与向量代数

一、选择题

1．点M(3,?2,1)关于坐标原点的对称点是( )．

(A) (?3,2,?1)； (B) (?3,?2,?1)； (C) (3,?2,?1)； (D) (?3,2,1)．

????????2．已知|a|?1, |b|?2, (a?b)?, 则|a?b|?( )．

4(A)5； (B)1?2； (C)2； (D)1．

????3．向量a与b的数量积a?b?( )．

????????????(A)|a|Prjba； (B)a?Prjba； (C)|a|Prjab； (D)|b|Prjab． ????4．设a?(x,3,2)，b?(?1,y,4)，若a//b，则必有( )．

11，y?6； (B)x??，y??6；(C)x?1，y?7； (D)x??1，y??3． 22?????5．设a与b为非零向量，则a?b?0是( )．

(A)x??????(A)a=b的充要条件； (B)a?b的充要条件； ????(C)a//b的充要条件； (D)a//b的必要但不充分条件．

??6．向量a?(4,?3,4)在向量b?(2,2,1)上的投影为( )．

(A)2； (B)3； (C)4； (D)6．

??????7．设a?(3,?5,8)，b?(-1,1,z)，|a?b|?|a?b|，则z?( )．

(A)?1； (B)1； (C)?2； (D)2．

??8．已知向量a?(1,1,1)，则垂直于a且垂直于z轴的单位向量是( )．

3322(1,1,1)； (B)?(1,?1,1)； (C)?(1,?1,0)； (D)?(1,1,0)． 3322????????????3, ABABA?(4,0,5)9．已知向量的始点, |AB|?214,的方向余弦为cos??1412cos??,cosr??，则B的坐标为( )．

1414(A)(10,?2,1)； (B)(?10,?2,1)； (C)(10,2,1)； (D)(10,?2,?1)． 10．点M(1,2,1)到平面x?2y?2z?10?0的距离是( )．

(A)?(A)1； (B)?1； (C)?1； (D)．

1

1311．设平面方程为Ax?Cz?D?0,其中A,C,D均不为零，则平面( )． (A)平行于x轴； (B)平行于y轴； (C)经过x轴； (D)经过y轴． 12．点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影为( )．

522522522333333333???????13．已知向量a?(2,?1,?2)，b?(1,1,z)，则使a和b的夹角(a,b)达到最小的z为( )．

(A)(,-,)； (B)(-,-,)； (C)(-,,)； (D)(-,,-)． (A)4； (B)?4； (C)2； (D)?2．

14．两张平行平面?1:Ax?By?Cz?D1?0与?2:Ax?By?Cz?D2?0之间的距离为( )． (A)|D1?D2|； (B)|D1?D2|； (C)522333|D1?D2|A?B?C222； (D)|D1?D2|A?B?C222．

x?3y?4z?2与平面?：4x?2y?2z?0的关系是( )． ???2?73(A)平行； (B)垂直相交； (C)L在?上； (D)相交但不垂直．

15．直线L：16．设有直线L1：

?x?y?6x?15?yz?8与L2：?，则L1与L2的夹角为( )． ??2y?z?3121?(A)

?6； (B)

?4； (C)

?3； (D)

?2．

?x?2y?4z?7?017．过点P(2,0,3)且与直线?垂直的平面的方程是( )．

3x?5y?2z?1?0?(A) (x?2)?2(y?0)?4(z?3)?0 ； (B)3(x?2)?5(y?0)?2(z?3)?0；

(C) ?16(x?2)?14(y?0)?11(z?3)?0； (D) ?16(x?2)?14(y?0)?11(z?3)?0．

?x?t?1

x?2y?1z?1?

18．两平行直线?y?2t?1与之间的距离是( )． ??121?z?t

?

(A)1； (B)2； (C)

24； (D)3． 33?x2z2???119．双曲线?4绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为( )． 5??y?0(x?y)2z2x2(y?z)2x2?y2z2x2y2?z2??1； (D) ??1． ??1; (B)??1; (C)(A)

4545454520．旋转曲面x2?y2?z2?1是( )．

2

(A)xOy平面上双曲线x2?y2?1绕y轴旋转所得； (B)xOy平面上双曲线x2?z2?1绕z轴旋转所得； (C)xOy平面上双曲线x2?y2?1绕x轴旋转所得； (D)xOy平面上的圆x2?y2?1绕x轴旋转所得．

二、填空题

?????1．已知向量a?(2,3,?4)，则向量c?2a?3b在y轴上的分向量是 ． b?(5,?1,1)，?2．与点M1(1,?1,2)，M2(3,3,1)，M3(3,1,3)决定的平面垂直的单位向量a0? ．

??????3．已知a?(2,1,?1)，若向量b与向量a平行，且a?b?3，则b? ．

4．已知A(1,0,1)，B(2,3,?1)，C(?1,2,0)，则三角形ABC的面积为 ．

?????????5．已知a?(2,?3,1)，b?(1,?1,3)，c?(1,?2,0), 则(a?b)c?(a?c)b? ． ????????????6．设x?2a?b,y?ka?b，其中|a|?1,|b|?2，且a?b，若以x和y为邻边的平行四边形面

积为6，则k的值为 ．

??????a?(3,?5,8)7．设|a?b|?|a?b|，，b?(?1,1,z)，则z? ．

????????8．从点A(2,?1,7)沿向量a?8i?9j?12k的方向取长度为34的有向线段AB，则B点坐标

为 ．

????9．已知|r|?4，r与投影轴u的夹角为，则Prjur= ．

310．已知原点到平面2x?y?kz?6的距离等于2, 则k? ．

11．通过z轴和点(?3,1,?2)的平面方程为 ．

x?1y?2z的平面方程为 ． ??21?313．过点P(2,1,?1)而在x轴和y轴上截距分别为2和1的平面方程 ．

12．过点P(3,1,?2)和直线L：

?x?2y?z?9?014．直线?的对称式方程式 ．

3x?6y?z?27?0?15．过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程 ． 16．由点P(1,2,3)向直线

x?4y?5z?1引垂线，则垂足的坐标 ． ??2?213

?x?1x?1y?2z?1?17．与两直线?y??1?t 及都平行，且过原点的平面方程为 ． ??121?z?2?t??x?218．点M(?1,6,3)到直线?的距离为 ．

z??1?19．xOy平面上曲线x2?4y2?9绕y轴旋转一周所得旋转曲面方程 ．

?x2?y2?z2?420．空间曲线?在yoz平面上的投影曲线是 ．

?y?z

三、计算及证明题

??1．已知向量a?(4,?3,2)，u轴与三坐标轴正向构成相等锐角，求a在u轴上的投影．

??????????2．求向量a?3i?12j?4k在向量b?(i?2k)?(i?3j?4k)上的投影． ???????????3．设向量(2a?5b)与(a?b)垂直，(2a?3b)与(a?5b)垂直，试求(a?b)．

????????4．设p??a?5b，q?3a?b，其中a，b是相互垂直的单位向量，求满足下列条件的?值：

??????(1)以p，q为边的三角形面积为8；(2)p//q；(3)p?q． 5．已知点A(1,2,3)，B(2,?1,5),C(3,2,?5)，求

(1)?ABC的面积；(2)?ABC的AB边上的高．

????????????????6．设A(1,1,1),B(2,2,1),C(2,1,2)，求AB,AC的夹角?以及AB在AC上的投影． 7．设两平面的方程为?1：2x?y?z?7?0，?2：x?y?2z?11?0．

(1)求两个平面的夹角；(2)求通过两个平面的交线且和xOy坐标面垂直的平面方程． 8．求过平面x?5y?z?0与x?z?4?0的交线且与平面x?4y?8z?12?0相交成面方程．

9．求过两点A(1,1,1)和B(0,1,?1)且垂直于平面x?y?z?0的平面方程．

10．已知三点M1(2,1,5)、M2(0,4,?1)、M3(3,4,?7)，求过点M0(2,?6,3)且与三角形M1M2M3所在平面平行的平面方程．

11．求与平面5x?14y?2z?36?0平行且距离为3的平面方程．

12．求通过两平面2x?y?4?0与y?2z?0的交线及点M0(2,?1,?1)的平面方程．

?4角的平

4