2014年数学建模作业题

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

试建一模型以帮助决定挖取哪些块，使收入减费用之差为最大。

17、系统可靠性问题

系统由若干个部件串接而成，只要一个部件出现故障，系统就不能正常工作，为提高系统可靠性每个部件都装有备件，一旦原部件出现故障，备件就自动进入系统。显然，备件越多系统可靠性越大，但费用也越高。问题是在一定的费用下，如何配置各部件使系统的可靠性最大。

(1) 由n个部件串接的系统，当部件k配置j个备件时，该部件正常工作的概率及费用均已知，在总费用不超过定值的条件下，建立使系统的可靠性最大的模型。

(2) 设n=3且每个部件至多配置3个备件，部件k配置j个备件时正常工作的概率pkj及费用ckj如下： 备件数量j 备件数量j pkj Ckj 1 2 3 1 2 3 1 0.5 0.7 0.9 1 2 4 5 部件部件2 0.7 0.8 0.9 2 3 5 6 号k 号k 3 0.6 0.8 0.9 3 1 2 3 总费用不超过10，如何配置各部件的备件数使系统的可靠性最大。

18、配送问题

[配送问题一]：一公司有二厂，分处A、B两市，另外还有4间具有存贮机构的库房，分别在P、Q、R和S市。公司出售产品给6家客户C1,C2,...,C6，由各库房或直接由工厂向客户供货。

配送货物的费用由公司负担，单价见下表： 表一 受货者 供货者 A市厂 B市厂 P库房 Q库房 R库房 S库房

P库房 0.5 ---- Q库房 0.5 0.3 R库房 1.0 0.5 S库房 0.2 0.2 客户C1 1.0 2.0 ---- 1.0 ---- ---- 客户C2 ---- ---- 1.5 0.5 1.5 ---- 客户C3 1.5 ---- 0.5 0.5 2.0 0.2 客户C4 2.0 ---- 1.5 1.0 ---- 1.5 客户C5 ---- ---- ---- 0.5 0.5 0.5 客户C6 1.0 ---- 1.0 ---- 1.5 1.5

A市厂月供货量不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。各库房的月最大流通量千吨数为 表二 库房 P Q R S 流通量 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为（单位：千吨）

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表三 客户 C1 C2 C3 C4 C5 C6 要求货量 50 10 40 35 60 20 公司希望确定：如何配货，总费用最低？ [配送问题二]：现假设可以在T市和V市建新库房，和扩大Q市的库房，而库房的个数又不能多于4个，必要时可关闭P市和S市的库房。

建新库房和扩建Q市库房的费用（计入利息）摊至每月为下表所列值（万元），它们的潜在的月流通量（千吨）也列于表中 表四

库房 月费用 流通量 T 1.2 30 V 0.4 25 Q（扩建） 0.3 20 关闭P市库房月省费用1万元；关闭S市库房月省0.5万元。 涉及新库房的配送费用单价（元/吨）见下表 表五

供货 A B T V 受货 T 0.6 0.4 V 0.4 0.3 C1 1.2 ---- C2 0.6 0.4 C3 0.5 ---- C4 ---- 0.5 C5 0.3 0.6 C6 0.8 0.9

问题为应建那些新库房？Q市库房应否扩建？P市和S市库房应否关闭？配运费用最小的配货方案是什么？

20、汽车保险问题

随着汽车数量的逐年增加，以及汽车普及率的逐年提高，汽车保险市场的前景越来越看好，但是，汽车数量的增加也对交通管理与安全带来了一定的负面影响，保险公司希望投保人越多越好，但是任何事物都具有两面性，若对交通事故不很好控制，投保人的增加也会造成索赔人的增加，所以，有的国家提出了安全带法规，从而较好地控制了交通事故的死亡率，使得投保人到保险公司索赔的人数有所减少。同时，政府希望保险公司降低保费，从而更好地体现社会主义保险事业利国利民的性质。

某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助。所有参保人被分为0，1，2，3四类。类别越高，从保险费中得到的折扣越多；在计算保险费时，新客户属于0类；在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别，若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类；客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年

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的事故数量不会减少，但事故中受伤的司机和乘务员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%~40%。假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。

保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和表2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 表1 本年度发放的保险单数 基本保险费：775元 类别 没有索赔时补续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数 贴比例（%） 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 总收入：6182百万元；偿还退回：70百万元；净收入：6112 百万元； 支出：149百万元；索赔支出：6093百万元；超支：130百万元 表2 本年度的索赔款 类别 索赔人数 死亡司机人平均修理费/平均医疗费/平均赔偿费/数 元 元 元 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 823 2941 3 700872 7013 805 814 2321 总修理费：1981百万元；总医疗费：2218百万元； 总死亡赔偿费：1894百万元；总索赔费：6093百万元 21、 投入产出问题

一个包括煤炭、钢铁和运输三种产业的经济系统，生产煤炭、钢铁和提供运输服务。各产业产品以及价值计算的单位为亿元。单位产出所需要的各产业产品的投入量,以及人力的投入量(也以亿元为单位计算)见表1。第t +1年度的产出需要的是第t年度的投入。

表1 年度（t+1）单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.1 0.5 0.4 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.6 0.3 0.2 为提高生产能力，需要进一步投资。为使各产业第t+2年较第t年度多生产一单位，所需在第 t年度多产出一单位,所需在第t年度各产业产品和人力的投入量见表2。

表2

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年度（t+2）增单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.0 0.7 0.9 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.4 0.2 0.1 假设存货可以无费用的从一年转入下一年。现在(第0年)存货量和年生产能力见表3，人力的年供应量限制不超过4.7亿元。

表3

存货 生产能力 煤炭 1.5 3.0 钢铁 0.8 3.5 运输 1.0 2.8 试研究该经济系统未来五年的不同增长模式。具体说,按下述的不同目标，分别求各产业各年度的产出应为何？目标：

(1) 第5年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭，0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求(第0年除外)。

(2) 第4年和第5年总产出(不是生产能力)为最大，但忽略每年的外部消费。 (3) 在满足(1)的外部消费要求的同时，使人力需求最大（即就业机会最多）。忽略人力供应量的限制。

22、停车场收费问题

伊顿公学（Eton College）是英国的一所著名的公学，位于英格兰温莎，泰晤士河的河边。 伊顿公学学生的成绩都十分优异，也是英国王室、政界经济界精英的培训之地，被公认是英国最好的学校。目前学校有住校生4000人，走读生8000人，教师1600人，职工2400人。拥有个人汽车的人数分别占其中的77%，91%，89%和97%，则拥有汽车数分别为3080，7280，1424和2328，共计14112辆，但学校现有停车位仅9988个，供不应求。为了限制停车数量和维持正常的经费开支，实行停车许可证和年度收费政策。在这9988个停车位中，包括最近新建的两个停车平台(即学生中心停车平台)的1500个停车位，平均每个停车位的建设费用高达4000英镑。为了逐步付清这项工程的贷款，该停车平台单独设了较高的收费，除了原有的每年每车位100英镑的费用，另加收使用费每天1．50英镑。但这项收费引起了各方面，特别是学生的极大不满。有些学生宁愿把车停在1英里以外，然后步行，或者乘校车，也不愿付这1．50英镑，造成现将车停在校园内人数仅为9590人，全校停车位不足，而学生中心停车平台却远远没有停满，致使学校的停车和交通经费预算短缺100，000英镑以上，而且导致校外乱停车，使校园北部居民抱怨很大。请根附件信息，在考虑各方面因素的基础上，①从新制定学校停车规划，有利于学校的长期发展；②在现在的收费情况下，按你的规划计算停车场的盈利。

（附件1）：现有车位类型及收费情况 停车类型 数量(个) 收费（每个车位全年100英镑） 零散无限制车位 6600 只要有停车许可证（学生5500，教职工1100） 短期按天收费车位 1328 若有停车许可证，每天加收1．5英镑，否则每天加收3英镑 6