高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

2tan?45°－α?sin αcos α

8．化简·2＝________. 2

1－tan?45°－α?cosα－sin2α1

sin 2α2

解析：原式＝tan(90°－2α)·

cos 2α1

sin?90°－2α?2sin 2α＝· cos?90°－2α?cos 2α＝

cos 2α1sin 2α1

·＝. sin 2α2cos 2α2

1答案： 2

9．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β1

∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标

34

是，则cos α＝________. 5

解析：依题设及三角函数的定义得： 14

cos β＝－，sin(α＋β)＝.

35

ππ223

又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sin β＝，cos(α＋β)＝－. 2235∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β 14223

－?＋×＝－×? 5?3?533＋82＝.

153＋82答案： 15

ππ1

0，?，tan α＝，求tan 2α和sin?2α＋?的值． 10．已知α∈?3??2??21

2×2412tan α

解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝， 2211－tanα1－3

4且

sin α1

＝，即cos α＝2sin α， cos α2

又sin2α＋cos2α＝1，

π0，?， ∴5sin2α＝1，而α∈??2?∴sin α＝525，cos α＝. 55

5254

×＝， 555

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×413

cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，

555

π?ππ41334＋33?∴sin?2α＋3?＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝.

33525210π4π

β－?＝. 11．已知：0<α<<β<π，cos??4?52(1)求sin 2β的值； π

α＋?的值． (2)求cos??4?

ππ221

β－?＝coscos β＋sin β＝cos β＋sin β＝， 解：(1)法一：∵cos??4?4223∴cos β＋sin β＝227，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－. 399

ππ7

－2β?＝2cos2?β－?－1＝－. 法二：sin 2β＝cos??2??4?9π

(2)∵0<α<<β<π，

2

ππ3π3π∴<β<－<π，<α＋β<， 44422π

β－?>0，cos(α＋β)<0. ∴sin??4?π14β－?＝，sin(α＋β)＝， ∵cos??4?35π22β－?＝∴sin??4?3， 3cos(α＋β)＝－.

5

ππα＋?＝cos??α＋β?－?β－?? ∴cos??4???4??π

β－? ＝cos(α＋β)cos??4?3142282－3

＝－×＋×＝. 535315

xx

????12．(2012·衡阳模拟) 函数f(x)＝cos?－2?＋sin?π－2?，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(α)＝210

5

，α∈??0，ππ2??，求tan??α＋4??的值． 解：(1)f(x)＝cos??－x2??＋sin??π－xxx

xπ2??＝sin2＋cos2＝2sin??2＋4??， 故f(x)的最小正周期T＝2π

1＝4π.

2

(2)由f(α)＝210αα210

5，得sin2＋cos2＝5，

则?αα?sin2102＋cos2??2＝??5??2

， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，

又α∈??0，π

2??，则cos α＝1－sin2α＝

1－9425＝5

， 故tan α＝

sin αcos α＝3

4

， tan α＋tanπ3

所以tan?π4＋1

?α＋4?4?＝＝＝7. 1－tan αtanπ3

41－

4

1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg?1?a?π

?，且α＋β＝4，则实数a的值为(A．1

B.1

10

)

1

C．1或

10

D．1或10

tan α＋tan β

＝＝1?lg2a＋lg a＝0，

1?1－tan αtan β

1－lg?10a?·lg??a?1?lg?10a?＋lg??a?

解析：选C tan(α＋β)＝1?

1

所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.

10

ππ

α－?＋sin2?α＋?－sin2α的结果是________． 2．化简sin2??6??6?ππ

2α－?1－cos?2α＋?1－cos?3?3???

解析：原式＝＋－sin2α

221?2α－π?＋cos?2α＋π??－sin2α ＝1－?cos3?3???2??

πcos 2α1－cos 2α1

＝1－cos 2α·cos－sin2α＝1－－＝.

32221

答案： 2

ππ3ππ35

0，?，sin?β－?＝，β∈?，?. 3．已知sin α＋cos α＝，α∈??4??4?5?42?5(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．

9

解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，

594

即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝. 55π

0，?，∴cos 2α＝又2α∈??2?sin 2α4

∴tan 2α＝＝.

cos 2α3

ππ?ππ3π

，，β－∈?0，?，sin?β－?＝， (2)∵β∈??42??4?54?4?π4β－?＝， ∴cos??4?5

πππ24

β－?＝2sin?β－?cos?β－?＝. 于是sin 2??4??4??4?25π

β－?＝－cos 2β， 又sin 2??4?24

∴cos 2β＝－，

25

3

1－sin22α＝，

5