高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

π?3

1．(1)已知sin α＝，α∈??2，π?，则5

cos 2α

π

α＋?2sin??4?＝________.

(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝A．－3 4

C．－

3解析：(1)

＝

1B．－ 7D．－7 cos2α－sin2α

π5

＋2α?＝( ) ，则tan?4??5

cos 2α

π

α＋?2sin??4?22

2?sin α＋cos α?2?2?

＝cos α－sin α，

π?34

，π，∴cos α＝－. ∵sin α＝，α∈??2?557

∴原式＝－.

5

41－32×2π254

＋2α?＝(2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan?＝?4?5341－4

1＋31－. 7

7

答案：(1)－ (2)B

5

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入

x

[例2] (2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2－3sin x.

2(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

π1cos 2αα－?＝，求(2)若α为第二象限角，且f?的值． ?3?31＋cos 2α－sin 2α

πx

x＋?， [自主解答] (1)∵f(x)＝2cos2－3sin x＝1＋cos x－3sin x＝1＋2cos??3?2∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．

π111

α－?＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. (2)∵f??3?333∵α为第二象限角，∴sin α＝

22

. 3

cos2α－sin2αcos 2α

∴＝ 1＋cos 2α－sin 2α2cos2α－2sin αcos α122－＋cos α＋sin α1－2233

＝＝＝.

2cos α22

－3

由题悟法

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

以题试法

π43?α＋π?的值为( ) α＋?＋cos α＝2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin?，则sin?6??3?54

A. 5C.3

2

3B. 5D.3 5

3π

(2)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．

4解析：(1)由条件得

3343sin α＋cos α＝， 225

134

即sin α＋cos α＝. 225

π4α＋?＝. ∴sin??3?5

tan α＋tan β3π

(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，

41－tan αtan β∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2

角 的 变 换

典题导入

[例3] (1)(2012·温州模拟)若

sin α＋cos α

＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

sin α－cos α

π4π

α＋?＝，则sin?2α＋?的值为________． (2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos?12??6?5?sin α＋cos αtan α＋1

[自主解答] (1)由条件知＝＝3，

sin α－cos αtan α－1则tan α＝2.

故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]