高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； tan α＋tan β

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；

1－tan αtan βtan α－tan β

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 1＋tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α(3)T2α：tan 2α＝. 1－tan2α3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； 1＋cos 2α1－cos 2α(2)cos2α＝，sin2α＝；

22(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， π

α±?. sin α±cos α＝2sin??4?

[小题能否全取]

sin 2α

1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则2的值等于( )

cosαA．2 C．4 解析：选D

B．3 D．6

sin 2α2sin αcos α

＝＝2tan α＝2×3＝6. cos2αcos2α

2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A．－

2

2

B.2 2

C.3

2

D．1

2. 2

解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝2

3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )

3A．－1C. 9

5

3

1B．－

9D.5 3

41

解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 99π4

α＋?＝________ 4．(教材习题改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin??4?5解析：由已知条件sin α＝－

3

1－cos2α＝－，

5

π2272α＋?＝sin α＋cos α＝－sin?. ?4?221072答案：－ 10

π2

α＋?＝，则tan α＝________. 5．若tan??4?5π?tan α＋12?α＋解析：tan?4?＝1－tan α＝5， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 3

则7tan α＝－3，故tan α＝－.

73

答案：－

7

1.两角和与差的三角函数公式的理解：

(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则

后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．

(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．

(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α

＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．

2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对

角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

三角函数公式的应用

典题导入

1π?[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin??3x－6?，x∈R. 5π?(1)求f??4?的值；

ππ106

0，?，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． (2)设α，β∈?2?13?2??51π?[自主解答] (1)∵f(x)＝2sin??3x－6?， 5π??5π－π?＝2sinπ＝2. ∴f?＝2sin?4??126?4

ππ106

0，?，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝， (2)∵α，β∈?2?13?2??5

π610

β＋?＝. ∴2sin α＝，2sin??2?51353

即sin α＝，cos β＝.

135124

∴cos α＝，sin β＝.

135

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 1235416

＝×－×＝. 13513565

由题悟法

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

以题试法