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1.1 探索勾股定理 教案

【学习目标】

1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a?b?c．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长

可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．

（3）理解勾股定理的一些变式：

222a2?c2?b2，b2?c2?a2， c2??a?b??2ab．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

图（1）中

，所以

．

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中

，所以

．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

例题1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a． 【思路点拨】利用勾股定理a?b?c来求未知边长． 【答案与解析】

解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，

所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24， 所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10．

【总结】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：

【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，

∴ a?c?b?10?6?64， ∴ a＝8．

（2）设a?3k，c?5k，

∵ ∠C＝90°，b＝32，

∴ a?b?c． 即(3k)?32?(5k)．

解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

类型二、与勾股定理有关的证明 例题2、阅读下面的材料

222

222222222222222222222222222

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到（a+b）2=4×

，

整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2． 所以a2+b2=c2．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到 ， 整理，得 ， 所以 ．

【答案与解析】

证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，

∴c2=4×ab+（b﹣a）2， 整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2， ∴c2=a2+b2． 故答案是：

；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．

【总结】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（ ）

A．AC2B．BD2 C．BC2D．DE2

【答案】连接AD构造直角三角形，得

，选A．

类型三、与勾股定理有关的线段长

例题3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：设AB＝x，则AF＝x，

∵ △ABE折叠后的图形为△AFE， ∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF， EC＝BC－BE＝8－3＝5， 在Rt△EFC中，

由勾股定理解得FC＝4，

在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

222【总结】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算

例题4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）

A．6 B．5 C．11 D．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积． 【答案】D 【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB=∠DEC， 在△ABC和△CDE中，

??ABC??CDE?∵??ACB??DEC ?AC?CE?