4.反证法

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又∠AC’’C>∠B，即有∠C>∠B，于是AB>AC，这与已知条件“AC>AB”矛盾。 所以BC不大于B’C’.

（2） 若BCAC. 也与题设矛盾，所以BC不小于B’C’. 由（1）、（2）可知，BC=B’C’. 于是在?ABC和?A'B'C'.中有AB=A’B’，BC=B’C’，CA=C’A’，所以?ABC??A'B'C'.命题得证. 2.3 何时用反证法

原则上说，由假设命题结论的反面成立推出矛盾比直接证明原命题更容易时，就应该用反证法．证题的实践告诉我们，尽管用反证法证明的命题难以精确归类，但在以下几种情况下，可采用反证法．

（1） 某些基本定理

在一个学科开始时，由于可以用到的定理等依据甚少，从已知出发能推出的结论甚少，不易找出直接推证关系时，常采用反证法．

例4 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图4，在同一平面内，直线AB，CD和EF，且AB∥EF，CD∥EF．求证：AB∥CD．

证明 在同一平面内，假设AB不平行于CD，则AB与CD相交，设其交点为P． 已知AB∥EF，CD∥EF，这就是说过P点有两条直线AB和CD都平行于直线EF， 显然，这与平行公理(欧氏几何)矛盾，从而假定AB不平行于CD是错误的．由此可知，AB∥CD．证毕．

又如，“两直线相交只有一个交点．?“两直线平行则同位角相等”等基本定理均可采用反证法证明．

（2）某些定理的逆定理

例如定理：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．大边所对的角较大．其逆定理就可采用反证法证明． （3） 命题的结论涉及“否定”的论断

例5 凸四边形的两条对角线分别为a，b．求证：该四边形至少有一边的长度不超过

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12a?b2. 2证明 假设这个凸四边形ABCD的各边都大于l（l=

12a?b2）. 分别以A、C为圆心，2l为半径作圆，则AC＝a，如图5，设E、F是这两圆的交点，AC与EF交于M点，则 EF=2EM=2l?()=2?2a2212212(a?b)?a?b＝BD. 44DG另一方面，∵BA、BC、DA、DC都大于l=1a2?b2，

2∴点B、D都在这两圆之外.

设AC、BD相交于点N，（1）若AN≤AM，则BD大于BD与圆A相交的弦GH，而GH大于或等于EF，即有

ANEMCHFBBD>EF；（2）若AN>AM，则BD大于BD与C相交的弦，

它又大于或等于EF，即也有BD>EF. 这与前面所证得的“BD=EF”相矛盾. 所以这四边形中必有一条边的长度不大于

12a?b2. 2（4）有些命题的结论中涉及“至多……”或“至少……”这种形式，也常用反证法. 例6 如图6，D、E、F分别是?ABC三边（端点除外）BC、CA、AB上任意一点. 求证：?AEF，?BDF，?CDE中至少有一个面积不大于?ABC的面积的1.

4bFcdeAaEf证明：假设这些三角形的面积都大于1S?ABC. 则由

411CDefsinC ，S?ABC?(d?e)(a?f)sinC， B22111得efsinC??(d?e)(a?f)sinC，∵sinC?0， 242111∴ef?(d?e)(a?f)，同理有ab?((a?f)(b?c)，cd?(b?c)(d?e).

44411 f()3(a?f)2(b?c)2(d?e)2. ○所以 abcde?41112222又 (d?e)?4de，即有de?(d?e)，同理有bc?(b?c)，af?(a?f).

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2 f()(a?f)(b?c)(d?e) ○于是 abcde?1与○2矛盾. 所以原命题得证. 显然○

143222（5）命题结论以“唯一”，“有且只有一个”等形式出现时 （6）某些问题正面处理情况较多、较复杂时，用反证法可以“直捣黄龙”，尽快求解.

ECD例7 设凸五边形ABCDE的各边相等，并且∠A≥∠B≥∠C≥∠D≥∠E.

求证：这五边形是正五边形.

AB分析：由于本题需证∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E. 正面处理这串不等式不太容易，而用反证法只需证明其中一对角不等即可.

证明：假设∠A＞∠E，如图，?ABE，?EAD均为等腰三角形，并且腰AB=AE=ED，从而有BE>AD.

1 另一方面，在?ABD与?EBD中，有AB=DE，BD=BD，AD

设错误，故∠A≤∠E，又∠A≥∠E，从而∠A＝∠E.

由此有∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E. 即这个五边形是正五边形. 2.4 怎样用好反证法

用反证法证题时，首先必须在分清条件和结论的基础上，正确作出与命题结论相反的反证假设．有些命题，有若干个命题与其等价，在采用反证法时，要寻找对于反面结论更简单、更容易入手的一个作反证假设．

作反证假设时，要强调一个“反”字，即对命题结论的否定要彻底(一般当结论的反面有很多种情况时不宜用反证法)，除此之外，我们还需注意如下几点：

(1)推出的矛盾要鲜明，要形式化，导出的必须是确实的假命题或矛盾命题，不能似是而非．

(2)作好用反证法时的图设用反证法证平面几何问题时，由于假设和命题的事实是相矛盾

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的，因此，在图设中不可能用一个图形把两个相互矛盾的方面同时反映出来，所以作图时我们常常作技术处理．

反证法证题时的图设大致可分三类：第一类是按假设和题设事实无法作出的，此时，我们应对事实作全部的歪曲，也就是在证题过程中作出一个假设成立的图形，如例5、例7等；第二类是在正确的图形中，添补局部与事实不符的图形，如例l、例3、例4等；第三类是按题设可以正确作出图形的此类图不必加以歪曲，如例2、例6等．

(3)弄清反证假设的逻辑形式 当命题的结论B的逻辑形式比较复杂时，要正确作出反证假设B，需要弄清B的逻辑形式与B的逻辑形式之间的关系．(这将在教学论中详细介绍)

通过前述若干例题的说明，反证法的确是一种重要的证题方法，从正面入手遇到较大困难时，运用发展法去探讨很有必要. 但是并非每一道题都必须运用反证法，并非非符合前面所讲的7种类型的题都必须用反证法，滥用反证法是错误的。因为．它不利于提高学习者的推理能力．有些学习者在解题中多次应用反证法，其实整理一下，可以“负负得正”，根本没证明问题．如果不用反证法就能解决问题。应提倡从正面入手，不用反证法．

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