（名师导学）2020版高考数学总复习第64讲圆的方程练习理（含解析）新人教A版

第64讲 圆的方程

夯实基础 【p146】

【学习目标】

1．掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题．

2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题．

【基础检测】

1．当圆x＋y＋2x＋2ky＋2k＝0的面积最大时，圆心坐标是( )

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A．(0，－1) B．(－1，0) C．(1，－1) D．(－1，1)

【解析】因为x＋y＋2x＋2ky＋2k＝0，所以(x＋1)＋(y＋k)＝1－k，因此圆面积为(1－k)π，∴k＝0时圆面积最大，此时圆心坐标为(－1，0)．

【答案】B

2．若点(2a，a＋1)在以(0，1)为圆心，半径为5的圆内，则实数a的取值范围是( )

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A．(－1，1) B．(0，1) C.?－1，?D.?－，1?

5??5??

【解析】由题意，4a＋a＜5， 即a＜1，

解之得：－1＜a＜1. 【答案】A

3．方程ax＋ay－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则a的取值范围是( )

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?

1??1

?

A．a∈RB．a≠1且a∈R

C．a≠0且a∈RD．a∈(0，4]

?2（a－1）?＋?y＋2?＝4（a－2a＋2），由a2－2a＋

【解析】∵a≠0时，方程为?x－??a?aa2????

2＞0恒成立，∴a≠0且a∈R时方程表示圆．

【答案】C

4．圆C是以直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0的定点为圆心，半径r＝4的圆，则圆

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C的方程为( )

A．(x＋2)＋(y－2)＝16B．(x－2)＋(y－2)＝16 C．(x－2)＋(y＋2)＝16D．(x＋2)＋(y＋2)＝16

【解析】由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0有(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过定点(－2，2)，则所求圆的方程为(x＋2)＋(y－2)＝16.

【答案】A

5．在平面直角坐标系中，三点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆方程是________．

【解析】设三角形OAB的外接圆方程是x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0， 由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上，

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F＝0，F＝0，????

可得?4＋16＋2D＋4E＝0，解得?D＝－6，

???36＋4＋6D＋2E＝0，?E＝－2.

所以三角形的外接圆的方程为x＋y－6x－2y＝0. 【答案】x＋y－6x－2y＝0 【知识要点】 1．圆的定义

平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长为半径． 2．圆的方程 (1)圆的标准方程

圆心是(a，b)，半径是r的圆的标准方程是__(x－a)＋(y－b)＝r__． 当圆心在(0，0)时，方程为__x＋y＝r__．

D＋E－4F?D??E?(2)圆的一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为?x＋?＋?y＋?＝____．

4?2??2?

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22DE?D＋E－4F?故有：①当D＋E－4F>0时，方程表示以__?－，－?__为圆心，以____2?2?22

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为半径的圆；

E??D22

②当D＋E－4F＝0时，方程表示一个点__?－，－?__；

2??2③当D＋E－4F<0时，方程不表示任何图形．

(3)点P(x0，y0)与圆(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)的位置关系：

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2

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①若(x0－a)＋(y0－b)>r，则点P在圆外； ②若(x0－a)＋(y0－b)＝r，则点P在圆上； ③若(x0－a)＋(y0－b)

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典例剖析 【p146】

考点1 求圆的方程

xy

例1一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方

164程为________________________________________________________________________．

【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，

35?3?令y＝0，解得x＝，圆心为?，0?，半径为. 22?2?25?3?2

【答案】?x－?＋y＝

4?2?例2根据下列条件，求圆的方程．

(1)经过P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)． 【解析】(1)设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q两点的坐标分别代入得

??2D－4E－F＝20， ①

? ?3D－E＋F＝－10. ②?

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又令y＝0，得x＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6有D－4F＝36，④

由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为

x＋y－2x－4y－8＝0，或x＋y－6x－8y＝0.

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3

4x0－2

(2)法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，

3－x0∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝22， 故圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. 法二：设所求方程为(x－x0)＋ (y－y0)＝r， 根据已知条件得

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??（3－x）＋（－2－y）＝r，

?|x＋y－1|

＝r，??2

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0

0

0

0

y0＝－4x0，

＝1，

?x

解得?y＝－4，

?r＝22.

00

因此所求圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8.

【点评】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． 考点2 与圆有关的最值问题、范围问题

例3已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值；

n－3(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．

m＋2【解析】(1)由圆C：x＋y－4x－14y＋45＝0，

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