关于车辆内轮差的数学建模论文

5

上式的微分形式为

dxC2dyC2()?()?vAcos?dtdt

又因为前后轮的距离始终为车身长l，故有：

(xC?xA)2?(yC?yA)2?l2

根据假设，设前轮的轨迹：

xA?rAcos?

yA?rAsin?

因为汽车前轮做匀速圆周运动，所以参数?与v,t的关系为：

??vAt rA以上六式中，l,rA,vA为常量，xC,yC,xA,yA,?为变量。 用Matlab的dsolve函数解得：

xC?rAcos?cos?yC?rAcos?sin?即xC2

?yC2?rA2cos2?。

图2-1

如图2-1所以当轿车以恒定的转向角、恒定的速度转弯时，前后轮的轨迹为同心圆弧。 内轮差为两圆半径的差： ?6

D?rA?rAcos?

如图2-2所示，根据几何关系AArsin??l。

?2。

rAl内轮差也可表示为D(?)?ltan?C图2-2

模型三

模型三假设：

1、研究对象为具有刚性的汽车，车身为一整体、不可变形。通常情况下，轿车及客车属于此类。

2、依据现实中转弯时的驾驶过程，汽车的转弯路径不为理想的圆。

3、汽车的转向角以一定的规律变化，并非恒定。司机进入弯道后先打方向盘，后回方向盘，操作过程对于时间完全呈反对称。模型三的建立与求解中给出具体细节。 4、汽车进入弯道后匀速行驶。

5、所研究的弯道为多见的90度弯道。

在现实中，我们进一步考虑汽车司机转弯时的驾驶细节。根据驾车技术的相关资料，司机应该在后轮驶过线时开始打方向盘。车辆行驶到弯道中央时，方向盘打到最大程度。即将结束弯道进入直道时，司机要开始将方向盘慢慢回位。车辆离开弯道时，方向盘刚好回到原始位置。 根据以上对现实情况的分析，车辆在转弯时的轨迹并不是理想的圆弧。由于打方向盘以及回正方向盘都是一段持续的过程，所以从进入弯道（90度弯道）开始，车辆的转向角将连续变化，先增大后减小。反映在行驶轨迹上，即轨迹的曲率先增大后减小，曲率半径先减小后增大。为了更好地研究内轮差，我们不妨假定：车辆后轮进入弯道时司机开始打方向盘；行驶到弯道中点时方向盘刚好打到最大程度，之后随即开始逆向转动回正；后轮离开弯道时方向盘刚好回正，整个过程中方向盘的操作完全反对称。 在这种情况下，最大内轮差即为前轮轨迹与后轮轨迹的最大距离。我们先定义前轮的轨迹，再根据关系推导后轮轨迹。结合以上假设，根据曲率先增大后减小的变化规律，我们猜想曲线

x3?y3?rA3

符合上述曲率变化规律，可以更为精确地反映前轮行驶轨迹。

我们的验证过程如下。 这类曲线可以用参数方程

x??(?)?rAcos?y??(?)?rAsin?2323

7

表示，令rA?1，这一曲线在第一象限的图像如图3-1所示。

x?cos?y?sin?(0???2323?2)

图3-1

根据参数方程的曲率公式，其曲率为

?????????????????????????22???????????????23?K对?求导可得，

2sin?cos?rA(sin??cos?)8383322323

其中

导函数K?(?)图形如图3-2所示，

8

y?K?(?)

图3-2

区间?0,????4??内K?(?)?0，K单调递增；区间?????,?内K?(?)?0，K单调递减。 ?42????2时K?(?)?0，K取得极大值。曲率K的变化规律与实际情况符合得很好，因此我

xA?rAcos?们采用这类曲线，用

23yA?rAsin???????23?2)作为汽车前轮的轨迹。

以rA?10为例，大体来看，汽车的行进路线如图3-3所示。