第三章 环与域

成立。反之，若环R里有一个消去律成立，则环R没有零因子。

证明：若环R没有零因子，则由

a?0,ab?ac

有

a?0,a(b?c)?0

于是b?c?0，从而b?c。同样可证右消去律成立。

若在环R里左消去律成立，则当ab?0时，由ab?0?a0及a?0，有b?0，故环R没有零因子。同理可证右消去律成立时，也没有零因子。

推论 在环R中，只要有一个消去律成立，那么两个消去律就都成立。

4、整环

以上我们给出了一个环R的乘法运算可能适合的三个附加条件：交换律，单位元，零因子。一个环当然可以同时适合一个以上的附加条件，同时适合以上三个附加条件的环特别重要。

定义 若环R适合以下条件：

1.乘法适合交换律（即?a,b?R,ab?ba）； 2. R有单位元1（即?a?R,1a?a1?a）；

3. R没有零因子（即?a,b?R,ab?0?a?0或b?0）。 则称R是一个整环。

即，有单位元无零因子的交换环叫做整环。 例如，整数环Z是整环。

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P89、5.证明 R?{a?b2|a,b?Z}，显然R是非空集合。

?a?b2,c?d2,e?f2?R，有

①(a?b2)?(c?d2)?(a?c)?(b?d)2?R，即R对加法封闭。 ②[(a?b2)?(c?d2)]?(e?f2) ?(a?b2)?[(c?d2)?(e?f2)] 即加法适合结合律。

③存在0?0?02?R，使得

0?(a?b2)?(a?b2)?0?a?b2

所以0是R的零元。

④(?a?b2)?(a?b2)?(a?b2)?(?a?b2)?0，所以

a?b2的负元是?a?b2，即?(a?b2)??a?b2。

⑤(a?b2)?(c?d2)?(c?d2)?(a?b2)，即加法适合交换律。 由①——⑤可知，R关于加法构成群。

⑥(a?b2)(c?d2)?(ac?2bd)?(ad?bc)2?R，即R对乘法封闭。 ⑦[(a?b2)(c?d2)](e?f2) ?(a?b2)[(c?d2)(e?f2)] 即乘法适合结合律。

⑧(a?b2)[(c?d2)?(e?f2)] ?(a?b2)(c?d2)?(a?b2)(e?f2) [(c?d2)?(e?f2)](a?b2) ?(c?d2)(a?b2)?(e?f2)(a?b2) 即乘法对加法适合分配律。

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由①——⑧可知，R关于加法和乘法构成环。

⑨因为(a?b2)(c?d2)?(c?d2)(a?b2)，所以R是交换环。 ⑩1?1?02?R是R的单位元。

⑾若a?b2?0,c?d2?0，则(a?b2)(c?d2)?0。 故R是整环。

§3 除环、域

在上一节，我们对环的乘法运算附加了一些条件后就产生了一些特殊的环，如：交换环，有单位元环，无零因子环，整环等。在本节将进一步讨论特殊的环，介绍两类重要的特殊环：除环与域。

由上一节知识可知在一个有单位元1的环里，可以讨论元素的逆元问题，即当ab?ba?1时，称a是可逆元，b是a的逆元。而且当a可逆时其逆元是唯一的，记作a?1。那么对于有单位元的环，其中的元素是否都有逆元呢？，为此我们先看下面两个例子。

例1（P90） 例2（P91）

由例1知，当一个有单位元环至少有一个非零元时，零元一定没有逆元。而由例2知，有的有单位元环其每个非零元都有逆元，但有

Pn?n是有单位元环，的有单位元环则未必每个非零元都有逆元，例如，

但Pn?n中并非每个非零元都有逆元。于是有如下概念。

定义 设R是一个环，若 1、R含有非零元； 2、R有单位元1；

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3、R的每个非零元都有逆元（即?r?R，当r?0时，存在r?1?R，使得r?1r?rr?1?1）。

则称R是除环。

由此定义及例2知，有理数环Q、实数环R、复数环C都是除环，但整数环Z不是除环。

除环有如下性质： （1）除环没有零因子。

事实上，设R是除环，对a?R,a?0，若有ab?0，则a?1ab?a?10?0，从而b?0，同理若有ba?0，则b?0。故R的非零元a都不是零因子，即R无零因子。

由此可知，除环是无零因子环，但是无零因子环未必是除环，如，整数环Z是无零因子环，但不是整环。

（2）除环中非零元集合，关于除环的乘法构成群。 事实上，设R是除环，R*?R?{0}，则 Ⅰ、由（1）知R*对R的乘法封闭； Ⅱ、由环的定义知，乘法适合结合律； Ⅳ、R的单位元1就是R*的单位元；

Ⅴ、由除环的定义知，R*中每个元素都有逆元。 故R*关于R的乘法构成群。

R*叫做除环R的乘群。这样，一个除环是由两个群：加群与乘群

凑合而成的，分配律就像是一座桥，使得这两个群之间发生一种联系。

由（1）、（2）知，在一个除环R里，方程ax?b和ya?b

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