电磁感应作业习题及解答（赵近芳编）

Ch.10电磁感应作业习题及解答

10-4 如题10-4图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与

长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UM?UN．

解: 作辅助线MN，则MeNM构成闭合回路，当整个回路以速度v沿v方向运动时， 通过整个回路的磁通量始终不变，即d?m?0，则 ?MeNM??MeN??MN??即 ?MeN??MN 又∵ ?MN??d?m?0 dtO? 题10-4图

r

?NM(v?B)?dl??a?ba?bvBcos?dr???a?ba?b?0Iv?Iva?bdr?0ln?0 2?r2?a?b所以?MeN方向沿NeM方向，大小为

?0Iva?b ln2?a?b.

θ dlM点电势高于N点电势，MN两端的电压:

?Iva?b UMN?UM?UN?0ln2?a?b法二：如题10-4图2所示建立坐标系，在弧MeN上任意位置r处

取线元dl，方向如图，其与v 方向夹角为θ，dr=dlsinθ，则

v?B dr r 题10-4图2

O?

r

??MNNNa?b?Iv?Iva?b????0??(v?B)?dl??vBcos(??)dl???vBsin?dl???dr?0ln?0 MMMa?b22?r2?a?bN所以?MeN方向沿NeM方向，大小为

?0Iva?b ln2?a?b

M点电势高于N点电势，MN两端的电压:UMN?UM?UN?

?0Iva?b ln2?a?b10-5 如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

dI的变化率增大，求：(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； dtO 题10-5图

x

(2)线圈中的感应电动势．

解: 如图建立坐标系，矩形线圈面积上任意点的磁场强度大小为：

B??0I11(?)，方向垂直纸面向里，取顺时针为L正绕向，则 2?xx?b?d(1) 任一时刻线圈内所通过的磁通量为：?m?或（法2）：以向外磁通为正则，?m??d?a?0Il1ldr??1

d?Ild?a1b?a(?)dx?0[ln?ln] 2πxx?b?d2πdbd?a?b?a?0I2πr?0I2πrbdldr??0Il2π[lnb?ad?a?ln] bd

Ch.10电磁感应作业习题及解答

(2) 线圈中的感应电动势为： ???因为：ad?ab? ln

10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b=0.06m，宽

d?m?0lb?ad?adI?0ldI(b?a)d ?[ln?ln]?lndt2πbddt2πdt(d?a)b(b?a)ddI?0，又?0,所以：??0，即线圈中的感应电动势方向为逆时针。

(d?a)bdt

a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·s-1垂直于直线平移远离．求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．

?解: 在长方形线圈平面上，磁场方向垂直于平面向内。AB、CD运动速度v方向与其长度方向平行，对边上任意

???导线元，均有d??(v?B)?dl?0，因而AB、CD不产生动生电动势．

?I???DA产生电动势： ?1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dABC产生电动势： ?2??CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

题10-7图

∴ 回路中总感应电动势：???1??2??0Ibv11(?)?1.6?10?8 V，方向：沿顺时针． 2πdd?a法二：设任意时刻线圈左边距导线距离为x，取顺时针为L正绕向， 则通过此线圈的磁通量为： ?m?B?dS?S??x?a?0Ib2πrxdr??0Ib2πlnx?ax

I O 由题知：

dx?v，则任意时刻线圈中的感应电动势为： dt回路正绕向 ???d?m?0Ib11dx?0Ibv11?(?)?(?) dt2πxx?adt2πxx?av X 运动到题中图示位置时，x=d，则有： ??

x (V)

方向：沿顺时针。

x+a?0Ibv12π(d?1)?1.68?10?8d?a??10-8 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B中，B的方向与

?回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B的大小为B=kt(k为正常)．设t=0时杆位于cd处，

求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向． 解: 与矩形导体回路法向相顺应，该回路的正绕向为逆时针绕向。

任意时刻，该矩形导体回路中的磁通量为：

??11?m??B?dS?B(t)S(t)cos60??kt?lvtcos60??kt2lv?klvt2

22d?m??klvt?0 ∴ ???dt该感应电动势为负，表明回路中电动势的方向为顺时针方向，即沿abcd方向．

2

题10-8图

Ch.10电磁感应作业习题及解答

10-10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=

l磁感应强度B平行于转轴，如图10-10所示． 3试求：（1）ab两端的电势差；（2）a,b两端哪一点电势高?

???解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段，其上 d??(v?B)?dl??rBdr

则: 同理,

?Ob???rBdr?2B?l2/9 ?Oa???rBdr?B?l2/18

121?)B?l2?B?l21896

l302l30r

题10-10图

∴ ?ab??aO??Ob?(?2故，ab两端的电势差： Uab?Ua?Ub???ab??B?l/6

(2） ∵ Uab?0

，

即Ua?Ub?0

∴ b点电势高．

10-11 如题10-11图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及电动势方向． 解：在金属杆上距左边直导线为r处取dr，此处B? ?ABB??0Iv11(?)，则 2?r2a?rO

r

a?b?Iv1??0Iva?b1?????(v?B)?dl???0(?)dr?ln Aa?b2?r2a?r?a?b∵ ?AB?0，∴ 实际上感应电动势方向从B?A，即图中从右向左。 金属杆两端的电势差 ： UAB???AB?题10-11图

?0Iva?b ln?a?b

?10-12 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当

dB＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向． dt解： 法一：用法拉第电磁感应定律求解。添加辅助线，联结Oa及Oc，构成闭合回路OabcO，取回路正绕向为逆

时针，即OabcO方向，则回路中有磁通的面积：S?S?Oab?S扇?3R2πR2?，则 412?OabcOd?mddB3R2πR2dB????[?BS]?S?(?)

dtdtdt412dt?OabcO??Oa??ac??cO， 由于Oa,cO均沿圆柱磁场的径向，故?Oa??cO?0

所以： ?ac3R2πR2dBdB??Oabc??)∵ ?0 O(412dt， dt3

题10-12图

Ch.10电磁感应作业习题及解答 ∴ ?ac?0

即?方向从a?c。 ，

法二：用感生电动势定义求解。如题10-12图2所示，取顺时针为L正绕向，由Ei?dl??B?dS，

LS???????rdB?(r?R)??2dt 可求得：Ei?? 2??RdB(r?R)??2rdt

上式中，负号表示感生电场的方向为逆时针。

??根据感生电动势的定义：?i??Ei?dl

abcr θ 有： ?i??ba??c??Ei?dl??Ei?dl，可求出：

bb?θ E

α ?dl dα ?E

r ?

?dl 题10-12图2

?ab??a2???c?cRdBbrdBdlcos? Ei?dl??dlcos?，?bc??Ei?dl??bb2rdta2dt 题10-12图2中：rcos??R3??R,dlcos??rd?,?b?,?c?，则 2633R2dB；

4dt ?ab??03RdBdl?4dt?bc???c?bR2dBR2??dB?R2dBrd??(?)?

2rdt233dt12dt3R2πR2dBdB?(?)∵ ?0

412dt， dt 于是得： ?ac??ab??bc∴ ?ac?0

，

即?方向从a?c。

10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．

求：线圈与导线间的互感系数．

解：如图建立坐标系。设长直电流为I，其在导线周围产生的磁场为：B??0Ia2πr

根据对称性，直导线两侧(?a/3)至a/3区间，长直电流I产生的磁场通过线圈部分的磁通量之和为零。

故磁场通过正方形线圈的互感磁通为：

2a???Ia?Ia?12??B?dS??a30dr?0ln2

2πr2πS3I O

r

4

题10-15图

Ch.10电磁感应作业习题及解答 所以，线圈与导线间的互感系数： M?

10-18 一矩形截面的螺绕环如题10-18图所示，共有N匝．试求：

(1) 此螺线环的自感系数；

(2) 若导线内通有电流I，环内磁能为多少

?12I??0a2πln2

解：(1) 如题10-18图示，设螺绕管中通有电流I，如图取Or坐标系、

取微元截面dS =hdr,

在a< r < b的管腔中的区域，取半径为r的圆为回路，则 由安培环路定理，可得：B?2?r??0NI ∴ 管腔中的B值为: B??0NI/2?r

h O r a b dS=hdr ???NIhdr则通过此微元截面的磁通量为: d?m?B?dS?BdS?0 2?r题10-18图

??b?NI?0N2Ihb 0则通过此螺绕管的管腔的磁链为: ??N?m?NB?dS?Nhdr?ln??a2?r2?aS??0N2hb?ln 螺线环的自感系数: L?I2πa1(2) ∵ 自感磁能： Wm?LI2

2∴ 环内磁能为： Wm?

10-19 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．

求：导线内部单位长度上所储存的磁能．

解：由电流分布的轴对称性知，其磁场分布也是轴对称的。在长圆柱形导线

横截面取同心(O)圆周环路，应用安培环路定理，有：

O ?0N2I2h4πlnba

I r R ??I2B?dl?B(r)2?r??I??()?r ?0i0?2?Ri,L内L?0I2r2B2故，在r?R时： B?因而磁能密度：wm??2422πR， 2?08πR

?0Ir此微元体积中的磁场能为：

题10-19图

在导线内r处取单位长(l=1m)的微元体积dV = 2πrldr =2πrdr (是与该长圆柱形导线同轴的薄圆筒），

?0I22?0I23

dWm=?mdV?r2?rdr?rdr8?2R44?R45

则导线内部单位长度上所储存的磁能为：