2015届高考数学总复习 第四章 第四节平面向量的拓展与应用课时精练试题 文(含解析)

第四节 平面向量的拓展与应用 3 4 5 6 →→→→ 1.若AB＝3e1，CD＝－5e1 ，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是( ) A．平行四边形 B．菱形

C．等腰梯形 D．不等腰梯形

→→

解析：∵ AB＝3e1，CD＝－5e1，

3→→

∴AB＝－CD，

5→→→→∴AB∥CD，且|AB|≠|CD|. →→又|AD|＝|BC|，

∴四边形ABCD是等腰梯形．故选C. 答案：C

22

2．将函数y＝x的图象按向量a平移后，得到y＝(x＋1)－2的图象，则( ) A．a＝(1，2) B．a＝(1，－2) C．a＝(－1，2) D．a＝(－1，－2)

答案：D

3．(2013·河南三门峡一练)在平面直角坐标系中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足→→

向量OP在向量OA上的投影为－5，则点P的轨迹方程是( )

A．x－2y＋5＝0 B．x＋2y－5＝0 C．x＋2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0

→→

OP·OAx＋2y解析： 由题意知－5＝＝，所以点P的轨迹方程是x＋2y＋5＝0，故选

→5|OA|

C.

答案：C

π?→→→?π

4．函数y＝tan?x－?的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝( )

2??4题号 答案 1 2 A．4 B．6 C．1 D．2

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→→→→→→→→2→2

解析：由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB－OA＝10－4＝6.故选B.

答案：B

→→→→

5．平面上有四个互异的点A，B，C，D，满足(AB－BC)·(AD－CD)＝0，则三角形ABC是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

→→→→→→→→→→→

解析：由(AB－BC)·(AD－CD)＝0，得(AB－BC)·(AD＋DC)＝0，即(AB－BC)·AC＝0，→→→→→2→2→→

(AB－BC)·(AB＋BC)＝0，即AB－BC＝0，|AB|＝|BC|，故三角形ABC为等腰三角形．

答案：B

2

6．(2013·大纲全国卷)已知抛物线C：y＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k→→

的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )

12

A. B. C.2 D．2 22

解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得2

y－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4

2222

＝8t＋4，x1x2＝ty1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t＋16t＋4＝4.

→→

MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝4

11222

＋16t＋8＋4－16－16t＋4＝16t－16t＋4＝4(2t－1)＝0，解得t＝，所以k＝＝2.

2t答案：D

2

7．若向量a＝(2sin α，1)，b＝(2sinα＋m，cos α)(α∈R)，且a∥b，则m的最小值为__________．

2

解析：因a＝(2sin α，1)，b＝(2sinα＋m，cos α)，(α∈R)，且a∥b，

2

所以2sin αcos α＝2sinα＋m，

2

得m＝－2sinα＋2sin αcos α

π??＝cos 2α＋sin 2α－1＝2sin?2α＋?－1， 4??所以m的最小值为－2－1.

答案：－2－1

8．已知两个单位向量a和b的夹角为135°，则当|a＋λb|＞1时λ的取值范围是________．

2??222

解析：由|a＋λb|＞1，得到a＋(λb)＋2λa·b＞1，即1＋λ＋2λ×?－?＞1，

?2?λ－2λ＞0，所以λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)

π

9．(2013·郑州一模)向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，若b与b－a的夹角等于，则|b|

6

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2

的最大值为____________．

→→→

解析：如图，设OA＝a＝(2,0)，OB＝b＝(x，y)，则b－a＝AB，

b与b－a的夹角为，即∠OBA＝30°，

→→

再设|OB|＝a，|AB|＝x，在△OAB中，根据余弦定理有：

π22222

2＝a＋x－2×ax×cos ，整理得：x－3ax＋a－4＝0，

6

由(－3a)－4(a－4)≥0，得：a≤16，所以0＜a≤4. 所以|b|的最大值为4. 答案：4

10．(2012·广东六校联考)已知向量m＝(sin B,1－cos B)，且与向量n＝(1,0)的夹角π

为，其中A，B，C是△ABC的内角． 3

(1)求角B的大小；

(2)求sin A＋sin C的取值范围．

π

解析：(1)∵m＝(sin B,1－cos B)，且与向量n＝(1,0)所成的角为，

3

m·nsin B1＝＝＝. |m||n|2－2cos B2

2

2

2

2

2

π

6

m，n∴2sinB＝1－cos B．∴2cosB－cos B－1＝0.

1

∴cos B＝1或cos B＝－. 22ππ

又0＜B＜π，∴B＝，A＋C＝. 33

3?π?1?π?(2)由(1)可得sin A＋sin C＝sin A＋sin?－A?＝sin A＋cos A＝sin?A＋?，

3?2?3?2?

πππ2π

∵0＜A＜，∴＜A＋＜.

3333?π??3?∴sin?A＋?∈?，1?.

3??2??∴sin A＋sin C∈?

?3?

，1?. ?2?

11．(2013·许昌二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－→→→→c)BA·BC＝cCB·CA.

(1)求角B的大小；

→→

(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值．

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