（典型题）2014高考数学二轮复习-知识点总结-三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质

一、对三角函数的图象和性质的考查：

1、以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇。 2、题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档。 二、知识点：

1、三角函数定义、同角关系与诱导公式

1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝。

各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

sin α22

2）同角关系：sinα＋cosα＝1，＝tan α.

cos α

kπ

3）诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

2

2、三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x ππ在[－＋2kπ，＋22ππ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单在(－＋kπ，22单调2kπ](k∈Z)上单调递增； 调递增； 性 π3π在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调＋kπ)(k∈Z)上在[＋2kπ，＋递减 22单调递增 2kπ](k∈Z)上单调递减 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； πkπ对称对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)； 对称中心：(，π22性 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 2对称轴：x＝kπ(k∈Z) 0)(k∈Z) 3、三角函数的两种常见变换 考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1

1）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设

?31?

秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P 0?，?，当秒针从P0(此时t?22?

＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

π?π??π?π

A．y＝sin?t＋? B．y＝sin?－t－?

6?6??30?60π?π??π?π

C．y＝sin?－t＋? D．y＝sin?－t－?

6?3??30?303π3π??2）已知点P?sin ，cos ?落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 44??

π3π5π7πA. B. C. D. 4444

例题答案：1）C 2）D

解析：弄清三角函数的概念是解答本题的关键。

1）涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． 2）应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

yx 1

π

(1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度6

π

为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可

30

π??π

能为y＝sin?－t＋?.

6??30

3πcos π－cos 443π3π

(2)tan θ＝＝＝－1，又sin >0，cos <0，

3π44sin πsin 44

7π

所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.

4

例2

31??1）已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝，则cos?π＋α?的值为

3?2?10

10

答案 B

A.

B．－

10310310 C. D．－ 101010

11?3??π?解析 由tan(3π＋α)＝，得tan α＝，cos?π＋α?＝cos?－α?＝sin α. 33?2??2?10

. 10

(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，

?34?sin 2α＋cos 2α＋1的值．

已知点P的坐标为?－，?.求

1＋tan α?55?

34

解 由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，

552

2sin αcos α＋2cosα2cos α?sin α＋cos α?

∴原式＝＝ sin αsin α＋cos α1＋

cos αcos α?3?2182

＝2cosα＝2×?－?＝.

?5?25

考点二 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式

π

例2 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|<)的图象如图所示，为

2

了得到

g(x)＝sin ωx的图象，则只要将f(x)的图象 ( )

π

A．向右平移个单位

6π

B．向右平移个单位

12π

C．向左平移个单位

6π

D．向左平移个单位

12

答案 A

T7πππ

解析 由图象可知，＝－＝，

41234

∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－

2

2ππ

∴T＝π，∴ω＝＝2，再由2×＋φ＝π，

π3

π?π?得φ＝，所以f(x)＝sin?2x＋?. 3?3?

π?π?故只需将f(x)＝sin 2?x＋?向右平移个单位，

6?6?

就可得到g(x)＝sin 2x.

(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

ππ

(1)(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部

22

分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )

ππ

A．2，－ B．2，－ 36ππ

C．4，－ D．4，

63

答案 A

35π?π?解析 ∵T＝－?－?，T＝π，∴ω＝2，

412?3?5πππ又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，

1223

π?ππ?又φ∈?－，?，∴φ＝－，选A. 3?22?

(2)(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )

答案 A

解析 利用三角函数的图象与变换求解．

横坐标伸长2倍

y＝cos 2x＋1纵坐标不变――→

向左平移1个单位长度

y＝cos x＋1――→

向下平移1个单位长度

y＝cos(x＋1)＋1――→ y＝cos(x＋1)．

结合选项可知应选A.

2

(3)已知函数f(x)＝3sin 2x－2sinx＋2，x∈R. ①求函数f(x)的最大值及对应的x的取值集合； ②画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象．

π??解 ①f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin?2x＋?＋1， 6??

ππ

当2x＋＝2kπ＋ (k∈Z)时，f(x)取最大值3，

62

3

π

此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

6

②列表如下： π5π2π11πx 0 π 612312πππ3π13ππ 2π 2x＋ 66226y 2 3 1 －1 1 2 图象如下：

考点三 三角函数的性质

?sin x－cos x?sin 2x例3 (2012·北京)已知函数f(x)＝.

sin x(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．

先化简函数解析式，再求函数的性质． 解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)， 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

?sin x－cos x?sin 2x因为f(x)＝

sin x＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1

π??＝2sin?2x－?－1， 4??

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

(2)函数y＝sin x的单调递增区间为 ?2kπ－π，2kπ＋π?(k∈Z)． ?22???

πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

242π3π

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

88

π3π????所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?和?kπ，kπ＋?(k∈Z)． 88????

函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；

第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．

(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝sin x－cos x，有下列四个命题：

π

①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；

2

②y＝f(x)g(x)是偶函数；

?ππ?③f(x)与g(x)均在区间?－，?上单调递增； ?44?

f?x?④y＝的最小正周期为2π.

g?x?

其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4

4