广东省中考复习专题二次函数的图象性质及其应用

二次函数的图象性质及其应用

明确目标?定位考点

二次函数及其图象的有关知识是中考的必考内容，对二次函数的解析式、抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴，函数的最值及抛物线与坐标轴的交点的考查以选择题、填空题为主。对二次函数综合性问题的考查以解答题为主，尤其二次函数与几何的综合性问题，通常作为中考压轴题呈现。 归纳总结﹒思维升华 一、二次函数的图像和性质 1、二次函数的定义

一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。 (2)二次函数的一次项系数b和常数项c均可为零。 若b=0，则y=ax2＋c； 若c=0，则y=ax2＋bx； 若b=c=0，则y=ax2．

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式。 2、二次函数的三种形式

一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数，且a?0) 顶点式:y?a(x?h)2?k(a?0);

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交点式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0).

3、二次函数y?a(x?h)2?k的图像与性质

一般地,抛物线y?a(x?h)2?k与y?ax2的形状相同,位置不同。 把抛物线y?ax2向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线y?a(x?h)2?k。

平移的方向、距离要根据h,k的值来决定。 抛物线y?a(x?h)2?k有如下特点:

(1)当a?0时,开口向上,函数有最小值k;当a?0时,开口向下,函数有最大值k; (2)对称轴是x?h; (3)顶点是(h,k).

4、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c为常数，且a?0)的图像与性质

bb4ac?b2（?，）顶点是，对称轴是x??，与y轴的交点是(0,c)。

2a2a4a开口方向：a?0时，开口向上；a?0时，开口向下。 增减性：当a?0，在x??增大而增大；

当a?0时，在x??增大而减小。

b4ac?b2最值:当a?0时，函数有最小值,且当x??时，y有最小值是；

2a4abb时，y随x的增大而增大，在x??时,y随x的2a2abb时，y随x的增大而减小，在x??时,y随x的2a2ab4ac?b2当a?0时，函数有最大值,且当x??2a时，y有最大值是4a。

5、二次函数的图像特征

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 第2页/共33页

y?ax2 y?ax2?k y?a?x?h?2 当a?0时 开口向上 当a?0时 开口向下 x?0（y轴） x?0（y轴） x?h x?h x??b 2a（0,0） (0, k) (h,0) (h,k) b4ac?b2(?，) 2a4ay?a?x?h??k 2y?ax2?bx?c 6、二次函数的图像与系数的关系

（1）a的符号：a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0。 （2）b的符号：b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x??判断符号：b与a同号，说明? b与a异号，说明?b?0，则对称轴在2ab2a.(左同右异)。

y轴的左边； y轴的右边；

b?0，则对称轴在2a（3）c的符号：c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0。

二、用待定系数法求二次函数的解析式

1、一般式：y?ax2?bx?c 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 2、顶点式：y?a?x?h?2?k 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3、交点式： y?a?x?x1??x?x2? 已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式。

三、二次函数与一元二次方程的关系

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二次函数y=ax2+bx+c，当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，所以判断二 次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的，只要判断ax2+bx+c=0的根的情况。(1)当? ? b 2 ? 4 ac ＞0，则方程有两个不相等实根，函数与x轴有两个不相等的实数根

(2)当 ? b 2 ? 4 ac =0，则方程有两个相等实根，函数与x轴有两个相等的实数根 ?4ac(3)当 ? ? b 2 ? ＜0，则方程没有实根，函数与x轴没有交点

【注意】交点式：y=a(x- x1)(x- x2)（有交点的情况） 与x轴的两个交点坐标x1，x2，对称轴为h?四、 用二次函数的性质解决实际问题

1、利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题。

用二次函数解决实际问题一般方法：

（1）要解决这个实际问题，关键是如何建立直角坐标系；

（2）如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图像上的点的坐标； （3）根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式； （4）用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。

2、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．

(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值。

x1?x2 2。

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