(word完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

课后作业

一、填空题

1.已知：在△ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件∠ACP= 或∠APC= 时，△ACP∽△ABC．

2.两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是 。 3.如图，DEFG是Rt△ABC的内接正方形，若CF＝8，DG＝42，则BE＝ 。 4．如图，直角梯形 ABCD中，AD‖BC，AD⊥CD，AC⊥AB，已知AD＝4，BC＝9，则 AC＝

。

或 AC2=

5．△ABC中，AB＝15，AC＝9，点D是AC上的点，且AD=3，E在AB上，△ADE与△ABC相似，则AE的长等于 。 6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC的度数为

。

7.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝1，BD平分∠ABC交于D，则BD＝ ，AD＝ ，设AB＝x,则关于x的方程是 .

8．如图，已知D是等边△ABC的BC边上一点，把△ABC向下折叠，折痕为MN，使点A落在点D处，若BD∶DC＝2∶3，则AM∶MN= 。 二、选择题

9.如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且A．△AED∽△BED

AD1?，AE=BE，则有（） AC3D．△BAD∽△BCD

B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD

10．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC=6，AC＝3，则CD的长为（ ）

A.1

B.

3 2 C.2 D.

5 211．如图，□ABCD中，G是 BC延长线上一点，AG与 BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ） A．3对

B．4对

C．5对

D．6对

12． P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ） A．1条

B.2条

C．3条

D．4条

13．如图，在直角梯形 ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在 AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

三、解答下列各题

14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC＝10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？

15．已知：如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE·FC

（答案）

例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD

例3分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相

等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴

BCBEBCAB=即：= ABBDBEBD△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且

BCAB=∴△DBE∽△ABC BEBD例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形

AEABBCBCDCEDADE

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

AE12BDC2BA4D1E1DC2ABCE

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA

解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，

由勾股定理可求得AE=2a， 在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且

AEEC??2所以△EAF∽△ECA EFAE例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：

证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，

A∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE

D21又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC

即DF：FE= BC：AC，∴DF?AC=BC?FE

E例6 证明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，

∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，

BMAME2∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA=MD?ME， ?MDMAMAMEMEAEMAAEMEAE2???（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴ ??2MDMAMDADMDADMAAD评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD?AC。 命题2 如图，如果AB2=AD?AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

C

例7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，与结论

AEAF。?DEDG1AE2AFAF相比较，显然问题转化为证DG?FB。 ??12EDFBBF2证明：过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）AE?AF （1）

DEDG∵D为BC的中点，且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线，DG?1BF （2）将（2）代入（1）得：

2AEAF2AF ??DE1FBBF2例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角

分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形， 证明：作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=32k

∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=

DF2?2k∴BG=32k?2k?22k∴

AFFG1?? AEBG2又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD

例9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：DS。

证明：在△ADS和△ARB中。

11ARBR∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR ?22ASDSARBR? 但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，则，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC ASBQ∵∠DAR=∠RAB=

例10分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD，只要证明

OAOF即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。 ?OCODOAOBOEOFOAOF证明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴两式相乘可得： ???OEODOCOBOCOD例11 分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用

比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应

FCFG（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。 ???GFAF证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF 则有而FC∥DE ∴△AED∽△AFC ?BEAECFAFGFCFAFDFGF则有 ∴又∵BE=DE（正方形的边长相等）∴，即GF=CF。 ????DEAEBEBEBEDEAEAEAC例12 证明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴ ?ODCDBFABACABAEBF又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴，即∴AE=BF。 ???ODADCDADODOD选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到