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相似三角形知识点及典型例题

知识点归纳：

1、三角形相似的判定方法

（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三

角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相

似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：

①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，

则有射影定理如下：

（1）（AD）=BD·DC， （2）（AB）=BD·BC ， （3）（AC）=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即 （AB）+（AC）=（BC）。

2

2

2

22

2

典型例题：

例1 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD，AC于E、 F，求证：BE2＝EF·EG

证明：如图，连结EC，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC

∴BE＝EC，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG∥AB，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠G

CEEF又∵∠CEG＝∠CEF，∴△CEF∽△GEC，∴EG=CE

∴EC2＝EG· EF，故EB2=EF·EG 【解题技巧点拨】

本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段BE，EF，EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

FBFD例2 已知：如图，AD是Rt△ABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于F，求证：BA=AC

证法一：如图，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝Rt∠，AD⊥BC， ∴∠3＝∠C，又E是Rt△ADC的斜边AC上的中点，

1∴ED=2AC＝EC，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， FBBD∴∠DFB＝∠AFD，∴△DFB∽△AFD，∴FD＝AD （1）

BDBA又AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴AD=AC （2） FBBAFBFD由（1）（2）两式得FD=AC，故BA=AC

FBFD证法二：过点A作AG∥EF交CB延长线于点G，则BA=AG （1）

∵E是AC的中点，ED∥AC，∴D是GC的中点，又AD⊥GC，∴AD是线段GC的垂直平分线，∴AG＝AC （2）

FBFD由（1）（2）两式得：BA=AC，证毕。

【解题技巧点拨】

BD本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD”过渡，使问题得证，证法二

中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．

一、如何证明三角形相似

例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 AAD例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线， 24F求证：△ABC∽△BCD

3 CBE1D GCB

例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作 ∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三

角形？请证明你的结论。

AD

BCFE

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF?AC=BC?FE

A

F

EKB

DC例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。

求证：（1）MA2=MD

AE2ME?ME；（2） ?AD2MDDA12BMCE例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且

EBAF1??。求证：∠AEF=∠FBD ABAD3AFD G

E BC

例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQ∥AB，RP∥BC

DC

R

SQ

P

AB

例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD

E C A ODBF

例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG

D C EF

A GB

例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF

A

BFE1OD23C